Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
2·4·6
·
1
4·5
c
c
–
1
2
– 2
c
r
+
5
2
c
r
+…
,
(22)
где для краткости величина l^2+c^2 обозначена через r.
Как ясно отсюда, при вычислении взаимной индукции двух коаксиальных соленоидов мы должны использовать в выражении (20) вместо истинной
=
1
2
–
1
16
c^2
c^2
–
1
128
c
c
+
….
(23)
679. Если соленоид состоит из многих слоёв, образованных проводом такого диаметра, что в единичном интервале длины укладывается n слоёв, то число слоёв внутри dr равно ndr, и мы имеем
G
=
4
n^2
dr
и
g
=
l
n^2
r^2
dr
.
(24)
Если толщина провода постоянна, а индукция имеет место между внешней катушкой, наружный и внутренний радиусы которой равны x и y, и внутренней катушкой с наружным и внутренним радиусами y и z, то в пренебрежении влиянием концов
Gg
=
4
3
^2
ln^2n^2
(x-y)
(y^3-z^3)
.
(25)
Чтобы эта величина была максимальной при заданных x и z и переменном y, необходимо
x
=
4
3
y
–
1
3
z^3
y^2
.
(26)
Данное уравнение устанавливает наиболее выгодное соотношение между толщинами первичной и вторичной обмоток в индукционных машинах, не содержащих железных сердечников.
При наличии железного сердечника радиуса z величина G остаётся прежней, но
g
=
l
n^2
(r^2-4z^2)
dr
,
(27)
=
ln^2
y^3-z^3
3
+
4z^2
(y-z)
.
(28)
Если значение y задано, то величина z, соответствующая максимуму g, равна
z
=
2
3
y
12
12+1
.
(29)
Когда число велико, как в случае железа, то приближённо z=2/3·y.
Если теперь
x:y:z
::
4:3:2
.
(30)
Коэффициент самоиндукции на единицу длины длинного соленоида, внешние и внутренние радиусы которого равны x и y и который содержит длинный железный сердечник радиуса z, равен
4
x
y
x
n^2(^2+4z^2)
dr
+
y
n^2(r^2+4z^2)
dr
n^2
d
,
=
2
3
^2n
(x-y)^2
(x^2+2xy+3y^2+24z^2)
.
(31)
680. До сих пор мы считали провод однородным по толщине. Теперь же мы установим закон, по которому должна изменяться толщина провода в различных слоях, чтобы при заданном сопротивлении первичной и вторичной обмотки величина коэффициента взаимной индукции могла достигать максимума.
Пусть сопротивление на единицу длины провода, n витков которого укладываются в единице длины соленоида, равно n^2.
Сопротивление всего соленоида равно
R
=
2l
nr
dr
.
(32)
При заданном R величина G имеет максимум при условии
dG
dr
=
C
dR
dr
,
где C - некоторая постоянная.
Отсюда следует, что величина n^2 пропорциональна 1/r, или что толщина провода наружной катушки должна быть пропорциональна корню квадратному из радиуса слоя.
Для того чтобы при заданном значении R величина g была максимальна, нужно
n^2
=
C
r
+
4z^2
r
.
(33)
Следовательно, при отсутствии железного сердечника толщина провода внутренней катушки должна быть обратно пропорциональна корню квадратному из радиуса слоя, а при наличии железного сердечника, обладающего высокой восприимчивостью к намагничиванию, закон изменения толщины провода был бы более близок к прямой пропорциональности корню квадратному из радиуса слоя.
Бесконечный соленоид
681. Если объёмное тело образовано вращением плоской площадки A вокруг оси, лежащей в её плоскости, но её не пересекающей, то оно будет иметь форму кольца. Пусть такое кольцо обмотано проводом, витки которого располагаются в плоскости, проходящей через ось кольца; тогда функция тока проволочного слоя будет равна =(1/2)n, где n - полное число витков, а - азимутальный угол, отсчитываемый вокруг оси кольца.
Если - магнитный потенциал внутри кольца, а ' - вне его, то