Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2., Максвелл Джеймс Клерк

Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

на обложку

Максвелл Джеймс Клерк

Шрифт:

–

Снаружи кольца потенциал ' должен удовлетворять уравнению Лапласа и исчезать на бесконечном расстоянии. Как следует из природы самой задачи, этот потенциал должен быть функцией только угла . А единственным значением ', удовлетворяющим этим условиям, является ноль. Следовательно, '=0, =-2n+C.

Магнитная сила в любой точке, находящейся внутри кольца, перпендикулярна плоскости, проходящей через ось, и равна величине 2n, где r - расстояние от оси. Вне кольца магнитная сила отсутствует.

Если форма

замкнутой кривой задана координатами текущей точки z, r и , как функция её расстояния s от некоторой фиксированной точки, то поток магнитной индукции сквозь эту замкнутую кривую можно найти интегрированием вдоль неё вектор-потенциала, составляющие которого равны

2nxz

r^2

2nyz

r^2

Таким образом, мы находим

интеграл берётся вдоль кривой при условии, что она целиком лежит внутри кольца. Если же кривая целиком находится вне кольца, но охватывает его, то поток магнитной индукции сквозь кривую равен

dr'

ds'

2na

где a есть «линейная» величина

dr'

ds'

а штрихованные координаты относятся не к замкнутой кривой, а к одиночному витку соленоида.

Таким образом, поток магнитной индукции сквозь любую замкнутую кривую, охватывающую кольцо, всюду одинаков и равен 2na. Если же замкнутая кривая не охватывает кольцо, поток магнитной индукции сквозь неё равен нулю.

Пусть второй провод обмотан вокруг кольца произвольным образом и, не обязательно соприкасаясь с ним, охватывает его n' раз. Поток индукции сквозь этот контур равен 2nn'a, и, следовательно, коэффициент индукции M одной катушки на другую равен M=2nn'a.

Поскольку это выражение совершенно не зависит от конкретной формы или положения вторичного контура, то при протекании токов через проводники между ними не будет действовать никакой механической силы. Совмещая вторичный провод с первичным, мы получаем для коэффициента самоиндукции кольцевой намотки выражение L=2n^2a.

ГЛАВА XIII

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТОКИ

Цилиндрические проводники

682. Существует очень важный класс электрических систем, где токи текут по круглым проводам почти однородного сечения, причём провода либо прямые, либо такие, что радиус кривизны оси провода очень велик по сравнению с радиусом поперечного сечения провода. Для того чтобы подготовиться к математическому исследованию таких систем, мы начнём со случая, когда контур состоит из двух очень протяжённых параллельных проводников и двух небольших кусков, соединяющих их концы. Мы сосредоточим своё внимание на части контура, удалённой от концов проводников настолько, что никаких ощутимых изменений в распределении силы не вносит тот факт, что провода не являются бесконечно длинными.

Выберем ось z параллельной направлению

проводников; тогда в рассматриваемой области поля из-за симметрии системы всё будет зависеть только от величины H - составляющей вектор-потенциала, параллельной z.

Составляющие магнитной индукции, согласно уравнению (A), равны

(1)

(2)

Для общности мы будем предполагать, что коэффициент магнитной индукции равен так что a=, b=, где и - составляющие магнитной силы.

Уравнения (Е) для электрических токов (п. 607) дают

–

(3)

683. Если ток является функцией расстояния r от оси z, то, написав

r cos

r sin

(4)

и обозначив магнитную силу через , в направлении, в котором , отсчитывается перпендикулярно плоскости, проходящей через ось z, мы будем иметь

–

(r)

(5)

Если C представляет собой полный ток, протекающий через сечение, ограниченное окружностью радиуса r, которая лежит в плоскости xy и имеет центр в начале координат, то

2rw

(6)

Таким образом, отсюда видно, что магнитная сила в некоторой заданной точке, обусловленная токами, текущими в цилиндрических слоях с общей осью z, зависит только от полной силы тока, протекающего через слои, лежащие между данной точкой и этой осью, и не зависит от распределения тока по различным цилиндрическим слоям.

Пусть, например, проводник представляет собой однородный провод радиуса a, а полный ток через него равен C, тогда при равномерном распределении тока по всем частям сечения его плотность будет постоянной, причём

wa^2

(7)

Ток, протекающий через круговое сечение радиуса r при значениях r меньших a, равен C'=wr^2. Поэтому в любой точке, расположенной внутри провода,

2C'

a^2

(8)

Вне провода

(9)

В самом веществе провода магнитный потенциал отсутствует, так как внутри проводника, несущего электрический ток, магнитная сила не удовлетворяет условиям существования потенциала.