Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
,
B'
=
A'-B'-B'
;
(-)
n
A
n
=
A
+
(n-2)A
+
(n-2)(n-3)
1·2
A
+…+
A
n
,
(-)
n
B
n
=-
1
n
+
1
n-1
A
–
1
n-2
A
+…+
(-)
n
A
n-1
+
+
B
+
(n-2)B
+
(n-2)(n-3)
1·2
B
+…+
B
n
.
Из
d^2M
dx^2
+
d^2M
dy^2
–
1
a+x
dM
dx
=
0
мы получаем другой ряд условий:
2A
+
2A'
=
A
,
2A
+
2A'
+
6A
+
2A'
=
2A
;
n(n-1)A
n
+
(n-1)nA
n+1
+
1·2A'
n
+
1·2A'
n+1
=
nA
n
,
(n-2)(n-3)A'
n
+
(n-1)(n-2)A'
n+1
+
3·4A''
n
+
3·4A''
n+1
=
=
(n-2)A'
n
, …;
4A
+
A
=
2B
+
2B'
–
B
=
4A'
,
6A
+
3
A
=
2B'
+
6B
+
2
B'
=
6A'
+
3A'
,
(2n-1)A
n
+
(2n+2)A
n+1
=
(2n-1)A'
n
+
(2n+2)A'
n+1
=
=
n(n-2)B
n
+
(n+1)nB
n+1
+
1·2B'
n
+
1·2B'
n+1
.
Решая эти уравнения и подставляя значения коэффициентов, мы приводим ряд для M к виду
M
=
4a
ln
8a
r
1+
1
2
x
a
+
x^2+3y^2
16a^2
–
32x^3+3xy^2
32a^3
+…
+
+
4a
– 2-
1
2
x
a
+
3x^2-y^2
16a^2
–
x^3-6xy^2
48a^3
+…
.
Как
706. Опуская поправки, приведённые в п. 705, мы в соответствии с результата» ми п. 693 находим
L
=
4n^2a
ln
8a
R
– 2
,
где n - число витков провода, a - средний радиус катушки, R - среднегеометрическое расстояние поперечного сечения катушки от самого себя, см. п. 691. Если это сечение всюду подобно самому себе, то расстояние R пропорционально его линейным размерам, а n меняется как R^2.
Так как полная длина провода равна 2an, то а меняется обратно пропорционально n. Следовательно,
dn
n
=2
dR
R
и
da
a
=-2
dR
R
,
и мы находим условие, при котором L может иметь максимум:
ln
8a
R
=
7
2
.
Если катушка имеет круговое поперечное сечение радиуса c, то, согласно п. 692,
ln
R
c
=-
1
4
,
и
ln
8a
c
=
13
4
,
откуда
a
=
3,22c
,
или, для того чтобы такая катушка имела максимальный коэффициент самоиндукции, её средний радиус должен превышать радиус поперечного сечения катушки в 3,22 раза. Этот результат был получен Гауссом 3.
3Werke, G"ottingen edition, 1867, Bd. V, p. 622.
Если каркас, на который наматывается катушка, имеет квадратное поперечное сечение, средний диаметр катушки должен в 3,7 раз превышать сторону квадрата.
ГЛАВА XV
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПРИБОРЫ
Гальванометры
707. Гальванометр - это прибор, позволяющий регистрировать или измерять электрический ток по его магнитному действию.
Когда этот прибор предназначен для обнаружения существования слабого тока, его называют чувствительным гальванометром.