Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
Электромагнитная сила, обусловленная этой электродвижущей силой, равна EG/(R+r), её мы и должны сделать максимальной, меняя величины y и l.
Перевёртывая эту дробь, мы получаем выражение
g
1
y^2
+
r
gl
,
которое следует сделать минимальным. Следовательно,
2
dy
y^3
+
r dl
l^2
=
0.
Если
dl
l
+2
dy
y+b
=
0.
Исключая dl и dy, получаем
y+b
y^3
=
r
l
,
или
r
R
=
y+b
y
.
Таким образом, толщина провода в гальванометре должна быть такой, чтобы внешнее сопротивление относилось к сопротивлению катушки гальванометра как диаметр провода вместе с изоляцией к диаметру собственно провода.
О чувствительных гальванометрах
717. При конструировании чувствительного гальванометра назначение каждой из его частей состоит в обеспечении максимально возможного отклонения магнита посредством малой заданной электродвижущей силы, приложенной между клеммами катушки.
Протекающий по проводу ток производит наибольшее действие тогда, когда он находится на возможно более близком расстоянии от подвешенного магнита. Магнит, однако, должен свободно колебаться, и поэтому какое-то пространство внутри катушки необходимо оставить пустым. Это определяет границу катушки изнутри.
Вне этой области каждый виток должен располагаться так, чтобы производить максимально возможное воздействие на магнит. По мере увеличения числа витков заполняются наиболее выгодные места, так что в конце концов сопротивление нового витка более уменьшает действие тока предыдущих витков, нежели сам новый виток добавляет к нему. Изготавливая внешние витки из более толстого провода, чем внутренние, мы получаем наибольший магнитный эффект при заданной электродвижущей силе.
718. Будем предполагать, что витки в гальванометре представляют собой окружности, а ось гальванометра проходит через центры этих окружностей под прямым углом к их плоскостям.
Пусть r sin будет радиусом одной из этих окружностей, а r cos - расстоянием между её центром и центром гальванометра; тогда, если l есть длина участка провода, совпадающего с данной окружностью, а - текущий по нему ток, то магнитная сила в центре гальванометра, спроектированная на направление его оси, равна lr– 2 sin .
Если записать
r^2
=
x^2
sin
,
(1)
то это выражение примет вид l/x^2.
Рис. 51
Следовательно, если сделать поверхность, подобную одной из тех, сечения которых представлены
r^2
=
x^2
sin
,
(2)
где x - произвольная постоянная), то провод заданной длины, изогнутый в виде дуги окружности, будет производить большее магнитное действие, когда он лежит внутри этой поверхности, чем когда он находится вне её. Отсюда следует, что внешняя поверхность любого слоя провода должна иметь постоянное значение x, так как, если x в одном месте больше, чем в другом, то можно часть провода переместить из первого места во второе и тем самым увеличить силу в центре гальванометра.
Полная сила, создаваемая катушкой, равна G, где
G
=
dl
x
,
(3)
интегрирование распространяется на всю длину провода, а x считается функцией l.
719. Пусть y - радиус провода, тогда площадь его поперечного сечения равна y^2. Пусть - удельное сопротивление (отнесённое к единице объёма) материала, из которого изготовлена проволока, тогда сопротивление провода длины l равно l/(y^2), а полное сопротивление катушки
R
=
dl
y^2
,
(4)
где y рассматривается как функция l.
Пусть Y^2 - площадь четырехугольника, вершины которого совпадают с сечениями осей четырёх ближайших проводов катушки, тогда Y^2l есть объём, занимаемый в катушке проводом длины l вместе с его изолирующим покрытием и той незаполненной частью пространства, которая с необходимостью остаётся между витками катушки. Следовательно, общий объём катушки равен
V
=
Y^2
dl
,
(5)
где Y рассматривается как функция l.
Но поскольку катушка представляет собой фигуру вращения, то
V
=
2
r^2
sin
dr
d
,
(6)
или, если выразить при помощи уравнения (1) r через x
V
=
2
x^2
(sin )
5/2
dx
d
.
(7)
Далее интеграл
2
0
(sin )
5/2
d
является численной величиной; обозначим её через N, тогда
V
=
1
3
Nx^3
–
V
,
(8)
где V есть объём внутренней области, оставленной для магнита.
Рассмотрим теперь слой катушки, содержащийся между поверхностями x и x+dx.