Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
M
=
GgP
+
GgP
+…
,
(4)
где коэффициенты G,G,… относятся к катушке, g,g,… - к магниту, а P,P,… - зональные гармоники, зависящие от угла между осями катушки и магнита, см. п. 700. Располагая определённым образом катушки гальванометра и составляя подвешенный магнит из нескольких магнитов, расположенных рядом друг с другом и на соответствующих расстояниях друг от друга, можно сделать так, что в выражении для M все члены после первого будут пренебрежимо
M
=
Gm
sin
,
(5)
где G - главный коэффициент гальванометра, m - магнитный момент магнита, - угол между осью магнита и плоскостью катушки, который в этом опыте всегда является малым.
Если L - коэффициент самоиндукции катушки, R - её сопротивление, а - ток в катушке, то
d
dt
(L+M)
+
R
=
0,
(6)
или
L
d
dt
+
R
+
Gm
cos
d
dt
=
0,
(7)
Момент силы, с которым ток у действует на магнит, равен (dM/d) или Gm cos . В этом опыте угол настолько мал, что мы можем положить cos . Предположим, что уравнение движения при разомкнутом контуре
A
d^2
dt^2
+
A
d
dt
+
C
=
0,
(8)
где A - момент инерции подвешенной аппаратуры; B(d/dt) выражает сопротивление, возникающее из-за вязкости воздуха, нити подвеса и т. п., а C выражает момент силы, возникающий из-за действия земного магнетизма, кручения устройства подвеса и т. п., который стремится возвратить магнит в положение равновесия.
Уравнение движения при учёте действия тока будет
A
d^2
dt^2
+
A
d
dt
+
C
=
Gm,
(9)
Чтобы найти движение магнита, мы должны это уравнение скомбинировать с (7) и исключить . В результате получим линейное дифференциальное уравнение третьего порядка
L
d
dt
+
R
A
d^2
dt^2
+
B
d
dt
+
C
+
G^2m^2
d
dt
=
0.
(10)
Нам, однако, не придётся решать это уравнение, поскольку параметрами задачи являются наблюдаемые элементы движения магнита и именно из них мы должны определить величину R.
Пусть значения и в уравнении (3) равны и , когда контур разомкнут. В этом случае сопротивление R бесконечно, и уравнение (10) сводится к (8). Таким образом, мы находим
B
=
2A
,
C
=
A
(^2+^2)
.
(11)
Разрешая
d
dt
=-
(-i)
,
i
=
– 1
,
(12)
мы находим
R
=
G^2m^2
A
– i
^2-^2+2i-2(-i)+^2+^2
+
+
L(-i)
.
(13)
Так как величина обычно много больше величины , то наилучшее значение для R можно получить, приравняв нулю члены, стоящие перед i:
R
=
G^2m^2
2A(-)
+
1/2 L
3
–
–
^2-^2
–
.
(14)
Мы можем также получить значение R путём приравнивания нулю членов, не содержащих i. но поскольку эти члены малы, то такое уравнение полезно только как средство проверки точности наблюдений. Из этих уравнений мы находим следующее проверочное уравнение:
G^2m^2
{^2+^2-^2-^2}
=
=
LA{
(-)
+
2(-)^2(^2+^2)
+
(^2+^2)^2
}.
(15)
Поскольку член LA^2 очень мал по сравнению с G^2m^2, это уравнение даёт
^2-^2
=
^2-^2
(16)
и уравнение (14) можно записать так:
R
=
G^2m^2
2A(-)
+
2L
.
(17)
В этом выражении G можно определить либо в результате измерения линейных размеров катушки гальванометра, либо лучше, путём сравнения с эталонной катушкой в соответствии с методом п. 753. А является моментом инерции магнита и подвешенной вместе с ним аппаратуры; его следует находить соответствующим динамическим методом; величины , , и устанавливаются из наблюдений.
Определение величины m - магнитного момента подвешенного магнита - является наиболее трудной частью исследования, так как он подвержен влиянию температуры, земной магнитной силы, механических воздействий; поэтому необходимо проявлять особую внимательность, чтобы при измерении этой величины магнит находился точно в таких же условиях, в которых он находится во время колебаний.
Второй член в выражении для R - член, содержащий L, - менее важен, поскольку обычно он мал по сравнению с первым членом. Величину L можно определить либо расчётным путём для катушки, форма которой известна, либо из эксперимента с избыточным током индукции, см. п. 756.