Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
b
=
c
=
R
.
(3)
Другая часть сопротивления - R - является сопротивлением системы проводников AO, OC, AB, BC и OB, причём точки A и C рассматриваются как электроды. Следовательно,
R
=
(b+a)(+)+ca(+a)+(c+a)
(c+)(+a)+(c+a++)
.
(4)
В этом выражении a обозначает внутреннее сопротивление батареи и её соединений; эта величина не может быть определена точно, но если сделать её
Величина ёмкости конденсатора в электромагнитной мере равна
C
=
T
2(R+R)
.
(5)
777. Если конденсатор обладает большой ёмкостью, а коммутатор очень быстродействующий, то конденсатор может полностью не разряжаться при каждом переключении. Уравнение для электрического тока во время разряда следующее:
Q
+
RC
dQ
dt
+
EC
=
0,
(6)
где Q - заряд, C - ёмкость конденсатора, R - сопротивление остальной части системы между электродами конденсатора, E - электродвижущая сила, обусловленная включением батареи.
Следовательно,
Q
=
(
Q
+
EC
)
–
e
– t/(RC)
EC
(7)
где Q - начальное значение Q.
Если - продолжительность контакта при каждом разряде, то количество электричества в каждом разряде равно
Q
=
2EC
1-e– /(RC)
1+e+/(RC)
.
(8)
Положив величины c и в уравнении (4) большими по сравнению с , a или , можно сделать время, представляемое произведением RC, настолько малым по сравнению с , что при вычислении значения экспоненциального выражения мы можем использовать для C выражение (5). Таким образом, мы находим
RC
=
2
R+R
R
T
,
(9)
где R - сопротивление, которое надо поставить вместо конденсатора, чтобы произвести эквивалентный эффект; R - сопротивление остальной части системы, T - интервал между началом двух последовательных разрядов, - продолжительность контакта при каждом разряде. Таким образом, мы получаем уточнённое значение для величины C в электромагнитной мере:
– 2
R+R
R
·
T
C
=
1
T
1+e
.
2
R+R
– 2
R+R
R
·
T
1-e
(10)
IV. Сравнение электростатической ёмкости конденсатора с электромагнитной ёмкостью самоиндукции катушки
778. Если две точки проводящего контура, сопротивление между которыми равно R, соединены с электродами конденсатора ёмкостью C, то при действии в контуре электродвижущей силы часть тока, вместо того чтобы
Рис. 63
Пусть на рис. 63 P, Q, R, S будут соответственно сопротивления четырёх элементов мостика Уитстона. Пусть катушка с коэффициентом самоиндукции L является частью элемента AH с сопротивлением Q, и пусть электроды конденсатора ёмкости C присоединены через проводники с малым сопротивлением к точкам F и Z. Для простоты мы будем предполагать, что в гальванометре, электроды которого присоединены к F и H, ток отсутствует. Мы должны, таким образом, определить условие, при котором потенциал в точке F равен потенциалу в точке H. И только если мы хотим оценить степень точности метода, мы должны вычислить ток через гальванометр, когда это условие не выполнено.
Пусть x будет полное количество электричества, которое прошло через элемент AF за время t, а z - количество электричества, прошедшее за то же время через FZ, тогда заряд конденсатора будет x-z. Электродвижущая сила, действующая между электродами конденсатора, по закону Ома равна R(dz/dt), так что если ёмкость конденсатора равна C, то
x-z
=
RC
dz
dt
(1)
Пусть y будет полное количество электричества, которое прошло через элемент AH; электродвижущая сила от A к H должна равняться электродвижущей силе от A к F, т.е.
Q
dy
dt
+
L
d^2y
dt^2
=
P
dx
dt
.
(2)
Поскольку ток через гальванометр отсутствует, количество электричества, прошедшее через HZ, также должно равняться y, поэтому находим
S
dy
dt
=
R
dz
dt
.
(3)
Подставляя в (2) значение x, найденное из (1), и сравнивая с (3), мы находим в качестве условия отсутствия тока через гальванометр
RQ
1+
L
Q
d
dt
z
=
SP
1+
RC
d
dt
z
.
(4)
Условие отсутствия тока в установившемся режиме имеет обычный для мостика Уитстона вид
QR
=
SP
.
(5)
Дополнительное условие отсутствия тока при размыкании и замыкании соединения с батареей следующее: