Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
L
Q
=
RC
.
(6)
Здесь L/Q и RC являются постоянными времени элементов Q и R соответственно. Поэтому, если, меняя Q или R, мы отрегулируем элементы мостика Уитстона так, чтобы ток в гальванометре отсутствовал как при размыкании и замыкании контакта, так и в установившемся режиме, мы будем знать, что постоянные времени катушки и конденсатора равны.
Коэффициент самоиндукции L можно определить в электромагнитной мере путём сравнения с коэффициентом взаимной индукции двух контуров с известными геометрическими
Ёмкость конденсатора может быть определена в электростатической мере путём сравнения с конденсатором, геометрические данные которого известны (п. 229). Эта величина с тоже является длиной. Ёмкость в электромагнитной мере равна
C
=
c
v^2
.
(7)
Подставляя это значение в уравнение (6), мы получаем для величины v:
v^2
=
c
L
QR
,
(8)
где c - ёмкость конденсатора в электростатической мере, L - коэффициент самоиндукции катушки в электромагнитной мере, а Q и R - сопротивления в электромагнитной мере. Значение v, найденное таким методом, зависит от определения единицы сопротивления, так же как и во втором методе, п. 772, 773.
V. Сопоставление электростатической ёмкости конденсатора с электромагнитной ёмкостью самоиндукции катушки
779. Пусть C будет ёмкостью конденсатора, обкладки которого соединены проводом с сопротивлением R. Пусть в этот провод включены катушки L и L' и пусть L обозначает сумму их ёмкостей самоиндукции. Катушка L' подвешена на двухнитевом подвесе и состоит из двух параллельных витков, расположенных в вертикальной плоскости, между которыми проходит вертикальная ось, несущая магнит M, ось которого вращается в горизонтальной плоскости между катушками LL'. Катушка L, имеющая большой коэффициент самоиндукции, закреплена. Подвешенная катушка L' защищена от потоков воздуха, вызываемых вращением магнита, путём помещения вращающихся частей внутрь полой оболочки [рис. 64].
Рис. 64
Движение магнита вызывает в катушке токи индукции, которые подвергаются воздействию со стороны магнита, так что плоскость подвешенной катушки отклоняется в направлении вращения магнита. Определим силу индуцированных токов и величину отклонения подвешенной катушки.
Пусть x будет заряд электричества на верхней обкладке конденсатора C, тогда, если E есть электродвижущая сила, которая произвела этот заряд, из теории конденсаторов имеем
x
=
CE
.
(1)
Из теории электрических токов мы имеем также
Rx
=
d
dt
(
Lx
+
M cos
)+
E
=
0,
(2)
где M - электромагнитный импульс контура L', когда ось магнита перпендикулярна плоскости катушки, а - угол между осью магнита и нормалью к этой плоскости.
Уравнение для определения x, таким образом, следующее:
CL
d^2x
dt^2
+
CR
dx
dt
+
x
=
CM
sin
d
dt
.
(3)
Если
=
nt
.
(4)
Выражение для тока состоит из двух частей, одна из которых не зависит от правой части уравнения и убывает со временем по экспоненте. Другая часть, которую можно назвать вынужденным током, целиком определяется членом, содержащим , и может быть записана в виде
x
=
A sin
+
B cos
.
(5)
Находя значения A и B подстановкой в уравнение (3), мы получаем
x
=-
MCn
RCn cos - (1-CLn^2)sin
R^2C^2n^2+(1-CLn^2)^2
.
(6)
Момент силы, действующий со стороны магнита на катушку L', по которой протекает ток x, противоположен моменту, который действовал бы на магнит, если бы катушка была неподвижна, и равен
=
x
d
d
(M cos )
=
M sin
dx
dt
.
(7)
Проинтегрировав это выражение по t в течение одного оборота и разделив на время, мы получаем для среднего значения
=
1
2
M^2RC^2n^3
R^2C^2n^2+(1-CLn^2)^2
.
(8)
Если катушка обладает значительным моментом инерции, её вынужденные колебания будут очень малы, а её среднее отклонение будет пропорционально .
Пусть наблюдаемые отклонения D, D, D соответствуют угловым скоростям магнита n, n, n; тогда в общем случае
P
n
D
=
1
n
+
CLn
^2
+
R^2C^2
,
(9)
где величина P - постоянна.
Исключая P и R из трёх уравнений такого вида, мы находим
C^2L^2
=
1
n^2n^2n^2
x
x
n^3
D
(n^2-n^2)
+
n^3
D
(n^2-n^2)
+
n^3
D
(n^2-n^2)
n
D (n^2-n^2) +
n
D (n^2-n^2) +
n
D (n^2-n^2)
.
(10)
Если n таково, что CLn^2=1, для этого значения n величина n/D будет минимальной. Остальные значения n следует брать одно больше, а другое меньше чем n.
Величина CL, определённая из уравнения (10), имеет размерность квадрата времени. Назовём её ^2.