Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
=
dH
d
–
dG
d
=
=
A
d^2p
dyd
+
d^2p
dzd
–
B
d^2p
dxd
–
C
d^2p
dxd
dx
dy
dz
=
=-
d
d
A
dp
dx
+
B
dp
dy
+
C
dp
dz
dx
dy
dz
–
–
A
d^2p
dx^2
+
d^2p
dy^2
+
d^2p
dz^2
dx
dy
dz
.
(24)
Первый
Величина же, стоящая под знаком интеграла во втором члене, равна нулю для любого элемента объёма, кроме того, в котором находится точка (,,). Легко показать, что второй член равен 4(A), где (A) - значение A в точке (,,); во всех точках вне магнита величина (A) равна нулю.
Теперь можно x-составляющую магнитной индукции записать в виде
a
=
+
4(A)
,
(25)
что равнозначно первому из уравнений, приведённых в п. 400; уравнения для b и c также совпадают с соответствующими уравнениями п. 400.
Как мы уже видели, магнитная сила вычисляется через скалярный потенциал V путём применения к нему оператора Гамильтона ; следуя п. 17, можно записать
H
=-
V
,
(26)
это уравнение справедливо как вне, так и внутри магнита.
Из проведённых сейчас исследований явствует, что магнитная индукция вычисляется через вектор-потенциал A путём применения к нему того же самого оператора; и этот результат справедлив внутри магнита так же, как вне его.
Применение этого оператора к векторной функции может дать в общем случае и скалярную и векторную величину. Однако скалярная часть, названная нами конвергенцией векторной функции, исчезает, если векторная функция удовлетворяет условию соленоидальности
dF
d
+
dG
d
+
dH
d
=
0.
(27)
Дифференцируя выражения (22) для F, G, H, убеждаемся, что эти величины удовлетворяют условию соленоидальности.
Таким образом, мы можем записать между магнитной индукцией и её вектор-потенциалом:
B
=
A
,
которую можно выразить такими словами: магнитная индукция является вихрем (ротором) своего вектор-потенциала, см. п. 25.
ГЛАВА III
МАГНИТНЫЕ СОЛЕНОИДЫ И МАГНИТНЫЕ ОБОЛОЧКИ1
1 См. работу сэра У. Томсона «Математическая теория магнетизма» (W. Thomson
О частных формах магнитов
407. Если длинная тонкая нить из магнитной материи, напоминающая проволоку, всюду является намагниченной в продольном направлении, то произведение любого её поперечного сечения на интенсивность намагниченности, среднюю по этому сечению, называется мощностью магнита в этом сечении. Если бы нить оказалась разрезанной на две части без изменения её намагниченности, то на двух поверхностях разреза после их разделения обнаружилось бы наличие равных и противоположных величин поверхностной намагниченности, численно совпадающих с мощностью магнита в данном сечении.
Нить магнитной материи, намагниченная таким образом, что её мощность в любом произвольно по длине нити проведённом сечении одинакова, называется Магнитным Соленоидом.
Если m - мощность соленоида, ds - элемент его длины, причём s отсчитывается от отрицательного полюса магнита к положительному, r - расстояние от данной точки до этого элемента, - угол, который образует r с осью намагниченности элемента, то потенциал, обусловленный элементом магнита в данной точке, равен
m ds cos
r^2
=
m
r^2
dr
ds
ds
.
Чтобы учесть все элементы соленоида, проинтегрируем это выражение по s; потенциал будет равен
V
=
m
1
r1
–
1
r2
,
где r1 и r2– расстояния от положительного и отрицательного концов соленоида до точки, где измеряется V.
Таким образом, обусловленный соленоидом потенциал и, следовательно, все связанные с ним магнитные эффекты зависят только от его мощности и положения концов соленоида и совсем не зависят от формы соленоида между конечными точками, т.е. от того, является ли он прямым или изогнутым.
Поэтому концы соленоида можно назвать его полюсами в строгом смысле этого слова.
Если соленоид образует замкнутую кривую, то обусловленный им потенциал равен нулю в любой точке; такой соленоид не проявляет никакого магнитного действия, и его намагниченность нельзя обнаружить без разламывания его в какой-либо точке и разнесения концов.
Если магнит можно разделить на отдельные соленоиды, каждый из которых либо образует замкнутую кривую, либо выходит своими концами на внешнюю поверхность магнита, то про его намагниченность говорят, что она является соленоидальной; поскольку действие магнита целиком определяется концами соленоидов, распределение воображаемой магнитной материи будет чисто поверхностным.
Следовательно, условие соленоидальности намагниченности будет таким:
dA
dx
+
dB