Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Максвелл Джеймс Клерк

Для эллипсоида с различными магнитными коэффициентами вдоль трёх осей момент сил, действующий на него и стремящийся повернуть его вокруг оси x, равен

4

3

abc

(BZ-CY)

=

4

3

abc

YZ

₂– ₃+₂₃(M-N)

(1-₂M)(1-₃N)

.

Следовательно, если ₂ и ₃ малы, то этот момент в принципе зависит от кристаллических

свойств тела, а не от его формы, при условии, что размеры тела не различаются слишком сильно; если ₂ и ₃ значительны (как в случае железа), то сила будет существенно зависеть от формы тела, стремясь устанавливать большую ось параллельно линиям силы.

Если бы могло быть получено достаточно большое, но всё же ещё однородное поле магнитной силы, то вытянутое изотропно диамагнитное тело тоже стремилось бы установиться так, чтобы его наибольший размер оказывался бы параллельным линиям магнитной силы.

439. Вопрос о распределении намагниченности в эллипсоиде вращения под действием произвольных магнитных сил был исследован И. Нейманом ². Кирхгоф ³ распространил его метод на случай бесконечно длинного цилиндра, находящегося под воздействием произвольной силы.

²Crelle, Bd. XXXVII (1848).

³Crelle, Bd. XLVIII (1854).

Грин в 17-м разделе своего Сочинения привёл исследование распределения магнетизма в цилиндре конечной длины под действием однородной внешней силы X, параллельной его оси. Хотя отдельные этапы этого исследования и не очень строги, однако в данном наиболее важном случае его результаты, по-видимому, приближённо соответствуют реальной намагниченности, и они, конечно, очень чётко выражают переход от цилиндра с большим к цилиндру с очень малыми , хотя совершенно непригодны в случае отрицательных , т.е. для диамагнитных веществ.

Грин нашёл, что линейная плотность свободного магнетизма для цилиндра с радиусом a и длиной 2l на расстоянии x от его середины равна

=

Xpa

e^px/a– e^{– px/a}

e^pl/a+e^{– pl/a}

,

где p есть численная величина, определяемая из уравнения

0,231863

–

2ln p

+

2p

=

1

p^2

.

Ниже приводятся несколько соответствующих значений и p:

p

p

0

11

,802

0

,07

336

,4

0

,01

9

,137

0

,08

62

,02

0

,02

7

,517

0

,09

48

,416

0

,03

6

,319

0

,10

29

,475

0

,04

0

,1427

1

,00

20

,185

0

,05

0

,0001

10

,00

14

,794

0

,06

0

,0000

Отрицательное

Мнимое

Когда

длина цилиндра велика по сравнению с его радиусом, полное количество свободного магнетизма по любую сторону от середины магнита, как это и должно быть, равно M=a^2X, причём часть этого магнетизма, равная pM/2, сосредоточена на плоском торце цилиндра, а центр тяжести всего распределения расположен от торца на расстоянии a/p.

Когда x очень мало, то p велико, и почти весь свободный магнетизм сосредоточен на торцах цилиндра. С увеличением x величина p убывает, и свободный магнетизм рассредоточивается на больших расстояниях от концов. При бесконечном свободный магнетизм в любой точке цилиндра просто пропорционален расстоянию от средней точки; подобное распределение имеет свободное электричество на проводнике в поле однородной силы.

440. Во всех веществах, кроме железа, никеля и кобальта, коэффициенты намагниченности так малы, что индуцированная намагниченность тела приводит лишь к небольшому изменению силы в магнитном поле. Следовательно, в первом приближении мы можем считать, что внутри тела действует такая же магнитная сила, как в отсутствие тела. Поверхностная намагниченность тела, таким образом, в первом приближении равна (dV/d) где dV/d - скорость роста магнитного потенциала, созданного внешним магнитом, вдоль внутренней нормали к поверхности. Вычислив потенциал, обусловленный этим поверхностным распределением, мы можем затем использовать его при переходе ко второму приближению.

Чтобы в этом первом приближении найти механическую энергию, обусловленную поверхностным распределением магнетизма, мы должны найти поверхностный интеграл

E

=

1

2

V

dV

d

dS

,

взятый по всей поверхности тела. Но в п. 100 мы показали, что он равен объёмному интегралу

E

=

–

1

2

dV

dx

^2

+

dV

dy

^2

+

dV

dz

^2

dx

dy

dz

,

взятому по области, занятой телом, или, если обозначить через R результирующую магнитную силу,

E

=

–

1

2

R^2

dx

dy

dz

.

Далее, так как работа, совершаемая магнитной силой над телом при смещении на x, равна Xx (где X -механическая сила в направлении x) и так как Xx+E=const, то

X

=-

dE

dx

=

1

2

d

dx

R

dx

dy

dz

=

1

2

dR^2

dx

dx

dy

dz

.

Отсюда следует, что на тело действует такая сила, при которой каждая его часть стремится перемещаться из областей меньших R^2 в область больших R^2; при этом сила, действующая на каждый единичный элемент объёма, равна

1/2