Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
3Recherches sur les propri'et'es magn'etiques du jer, Nova Acla, Upsal, 1863.
ГЛАВА V
ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ
Полая сферическая оболочка
431. Первый пример полного решения задачи о магнитной индукции был дан Пуассоном для случая полой сферической оболочки, находящейся под воздействием произвольных магнитных сил.
Для простоты будем считать, что источник магнитной силы расположен во внешнем по отношению к оболочке пространстве.
Если обозначить через V потенциал, создаваемый внешней магнитной
V
=
C
0
S
0
+
C
1
S
1
r
+и т.д. +
C
i
S
i
r
i
,
(1)
где r - расстояние от центра оболочки, Si– поверхностная гармоника i-гo порядка, Ci– коэффициент.
Этот ряд будет сходящимся при условии, что r меньше расстояния до ближайшего из магнитов, создающих данный потенциал. Следовательно, для полой сферической оболочки он сходится и на самой оболочке, и в области внутри неё.
Обозначим через a2 внешний радиус оболочки, через a1– внутренний радиус и через - потенциал, создаваемый индуцированной в ней намагниченностью. Во внутреннем пространстве, внутри вещества оболочки, и во внешнем пространстве вид функции , вообще говоря, различен. Разложив эти функции в ряды по гармоникам и сосредоточив своё внимание на членах, содержащих поверхностную гармонику Si, мы увидим, что потенциал 1, относящийся к полости внутри оболочки, следует разлагать по положительным гармоникам вида A1Siri, поскольку внутри сферы радиуса a1 он не должен обращаться в бесконечность.
В веществе оболочки, где значения r лежат между a1 и a2, ряд может содержать как положительные, так и отрицательные степени r вида A2Siri+B2Sir– (i+1).
Вне оболочки, где r больше a2, разложение должно сходиться при сколь угодно больших r, и поэтому мы должны брать только отрицательные степени r вида B3Sir– (i+1)
Функция должна удовлетворять следующим условиям: (1°) быть конечной, (2°) быть непрерывной, (3°) обращаться в нуль на бесконечном расстоянии и (4°) везде удовлетворять уравнению Лапласа.
Из условия (1°) следует
B
1
=
0.
Из условия (2°) при r=a1
(
A
1
–
A
2
)
a
2i+1
1
–
B
2
=
0
(2)
и при r=a2
(
A
2
–
A
3
)
a
2i+1
2
+
B
2
–
B
3
=
0.
(3)
Из
Помимо этих условий, существуют и другие, которым в силу уравнения (10) п. 427 необходимо удовлетворить на внешней и внутренней сторонах оболочки.
На внутренней поверхности при r=A1.
(1+4)
d2
dr
–
d1
dr
+
4
dV
dr
=
0.
(4)
на внешней поверхности при r=a2
– (1+4)
d2
dr
+
d3
dr
–
4
dV
dr
=
0.
Из этих условий получаем уравнения
(1+4)
{
iA
2
a
2i+1
1
–
(i+1)B
2
}-
iA
1
a
2i+1
1
+
4
iC
i
a
2i+1
1
=
0,
(6)
(1+4)
{
iA
2
a
2i+1
2
–
(i+1)B
2
}+
(i+1)B
3
+
4
iC
i
a
2i+1
2
=
0;
(7)
из которых, обозначив
N
i
=
1
,
(1+4)(2i+1)^2
+
(4)^2
i(i+1)
1
–
a
1
2i+1
a
2
(8)
находим
A
1
=-
(4)^2
i(i+1)
1
–
a1
a2
2i+1
N
i
C
i
,
(9)
A
2
=-
4i
2i
+
1
+
4
(i+1)
1
–
a1
a2
2i+1
N