Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Максвелл Джеймс Клерк

Значение A₂ никогда не превосходит 2L^2 (L - половина длины магнита); поэтому на расстояниях r, значительных по сравнению с L, мы можем пренебречь членом с A₂ и сразу же определить отношение H к M. Нельзя, однако, считать, что величина A₂ равна 2L^2, она может быть меньше и даже отрицательна, если максимальный размер магнита поперечен по отношению к оси. Членами с A₄ и более высокого порядка можно пренебречь без опасений.

Чтобы исключить A₂, повторим эксперимент с различными расстояниями r₁, r₂, r₃, …, получив для D значения D₁, D₂, D₃, …;

тогда

D

₁

=

2M

H

1

r₁³

+

A₂

r₁⁵

,

D

₂

=

2M

H

1

r₂³

+

A₂

r₂⁵

, …, … .

Если предположить, что вероятные ошибки этих уравнений одинаковы, а это будет так, когда они зависят только от определения D и когда не существует неопределённости в величине r, то в соответствии с общим правилом комбинирования в теории ошибок измерений (в предположении равенства вероятных ошибок всех уравнений) одно из комбинированных уравнений получится при умножении каждого из приведённых выше уравнений на r^{– 3} и сложения результатов, а второе - при умножении на r^{– 5} и также с последующим сложением результатов.

Обозначив через (Dr^{– 3}) величину

D

₁

r

₁

^{– 3}

+

D

₂

r

₂

^{– 3}

+

D

₃

r

₃

^{– 3}

+…

и используя аналогичные обозначения для других групп символов, оба результирующие уравнения можно записать в виде

(Dr

^{– 3}

)

=

2M

H

(r

^{– 6}

)

+

A

₂

(r

^{– 8}

)

,

(Dr

^{– 5}

)

=

2M

H

(r

^{– 8}

)

+

A

₂

(r

^{– 10}

)

,

откуда

2M

H

(r

^{– 6}

)

(r

^{– 10}

)

–

(r

^{– 8}

)

^2

=

=

(Dr

^{– 3}

)

(Dr

^{– 10}

)

–

(Dr

^{– 5}

)

(Dr

^{– 8}

)

и

A

₂

(Dr

^{– 3}

)

(Dr

^{– 10}

)

–

(Dr

^{– 5}

)

(Dr

^{– 8}

)

=

=

(Dr

^{– 5}

)

(Dr

^{– 6}

)

–

(Dr

^{– 3}

)

(Dr

^{– 8}

)

.

Величина A₂,

найденная из этих уравнений, должна быть меньше половины квадрата длины магнита M. В противном случае следует подозревать наличие какой-то ошибки в измерениях. Этот метод измерения и редукции был дан Гауссом в «Первом Докладе Магнитного Союза».

Если наблюдатель может сделать лишь две серии экспериментов для расстояний r₁ и r₂, то вычисленные по ним величины 2M/H и A₂ будут равны

Q

=

2M

H

=

D₁r₁⁵– D₂r₂⁵

r₁²– r₂²

,

A

₂

=

D₂r₂³– D₁r₁³

D₁r₁⁵– D₂r₂⁵

r

₁

²

r

₂

²

.

Ошибка в определении величины Q равна

Q

=

r₁⁵D₁– r₂⁵D₂

r₁²– r₂²

где D₁ и D₂– действительные ошибки измеренных отклонений D₁ и D₂.

Предполагая ошибки D₁ и D₂ независимыми, а вероятное значение каждой из них равным D, для вероятной ошибки Q вычисленного значения Q получим

(Q)^2

=

r₁¹⁰+r₂¹⁰

(r₁²– r₂²)^2

(D)^2

.

Считая заданным одно из расстояний, например меньшее, можно найти величину большего расстояния, при котором ошибка Q минимальна. Это условие приводит к уравнению пятой степени относительно r₁², которое имеет только один действительный корень, превышающий r₂²; отсюда находится наилучшее значение для r₁: r₁=1,3189r₂.

Если измерение проведено только один раз, то наилучшим является расстояние, при котором

D

D

=

3

r

r

,

где D - вероятная ошибка в измерении отклонения, а r - вероятная ошибка в измерении расстояния.

Метод синусов

455. Метод, который мы только что рассмотрели, можно назвать методом тангенсов, поскольку мерой магнитной силы является тангенс угла отклонения.

Теперь, вместо того чтобы линию r₁, направлять на восток или на запад, будем устанавливать её до тех пор, пока она не окажется перпендикулярной оси отклонённого магнита; тогда величина R сохранится прежней, но чтобы подвешенный магнит оставался перпендикулярным r, составляющая силы H вдоль r должна быть равна по величине R и противоположно направлена, т.е. при угле отклонения R=H sin .