Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
1 См. Kirchhoff, Pogg. Ann., LXIV, 497 и LXVII, 344; Quincke, Pogg., XCVII, 382; Smith, Proc. R. S. Edin., 1869-70, p. 79.
Прохождение электричества через пластину, разделяющую две среды
317. Рассмотрим теперь влияние пластины толщиной AB из среды с сопротивлением k2, разделяющей две среды с сопротивлениями k1 и k3, на изменение потенциала источника S, расположенного в первой среде.
Рис. 24
Потенциал
Положим
AS
=
SA
,
BI
1
=
SB
,
BJ
1
=
I
1
B
,
BI
2
=
J
1
B
,
BJ
2
=
I
2
A
, и т.д.
тогда мы имеем два ряда точек, находящихся на расстоянии друг от друга, равных удвоенной толщине пластины [рис. 24].
318. Потенциал в первой среде в любой точке P равен
E
PS
+
I
PI
+
I1
PI1
+
I2
PI2
+ и т.д.
(8)
Потенциал в точке P' во второй среде равен
E'
P'S
+
I'
P'I
+
I'1
P'I1
+
I'2
P'I2
+ и т.д. +
J'1
P'J1
+
J'2
P'J2
+ и т.д.
(9)
и потенциал в точке P'' в третьей среде равен
E''
P''S
+
J1
P''J1
+
J2
P''J2
+ и т.д.,
(10)
где I, I' и т. д.- воображаемые заряды, расположенные в точках I и т. д., а штрих означает, что потенциал следует брать внутри пластины.
Тогда, согласно п. 315, из условий на поверхности, проходящей через A, мы имеем
I
=
k2– k1
k2+k1
E
,
E'
=
2k2
k1+k2
.
(11)
Для поверхности, проходящей через B, находим
I'
1
=
k3– k2
k3+k2
E'
,
E''
=
2k3
k2+k3
E'
.
(12)
Подобным
J'
1
=
k1– k2
k1+k2
I'
1
,
I
1
=
2k1
k1+k2
I'
1
,
(13)
и для поверхности, проходящей через B,
I'
2
=
k3– k2
k3+k2
J'
1
,
J
1
=
2k3
k3+k2
J'
1
.
(14)
Если мы обозначим
=
k1– k2
k1+k2
и
'
=
k3– k2
k3+k2
,
то найдём для потенциала в первой среде
V
=
E
PS
–
E
PI
+
(1-^2)'
E
PI1
+
'(1-^2)'
E
PI2
+ и т.д +
+
'(1-^2)(')
n-1
E
PIn
+
.
(15)
Для потенциала в третьей среде мы найдём
V
=
(1+')(1-)
E
1
PS
+
'
PJ1
+ и т.д. +
(')n
PJn
+…
.
(16)
Если первая среда такая же, как третья, то k1=k3, =', и потенциал по другую сторону пластины будет равен
V
=
(1-^2)
E
1
PS
+
^2
PJ1
+ и т.д. +
2n
PJn
+…
.