Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Аналогично можно показать, что и точечный заряд конечной величины не может существовать в природе. Однако в некоторых случаях удобно говорить о линейных зарядах и точечных зарядах. Мы будем представлять их как заряженные проволоки или малые тела, размеры которых пренебрежимы по сравнению с основными существенными расстояниями.
Поскольку количество электричества на любом заданном участке провода при заданном потенциале стремится к нулю при неограниченном уменьшении диаметра провода, распределение заряда на телах конечных размеров не изменится существенно при внесении очень тонкой металлической проволочки в поле, например, для соединения
О силовых линиях
82. Если построить кривую, направление которой совпадает в каждой точке с направлением результирующей напряжённости в этой точке, то такая кривая называется Силовой Линией.
На любом участке силовой линии она идёт от места с большим потенциалом к месту с меньшим потенциалом.
Поэтому силовая линия не может пересекать саму себя, но должна иметь начало и конец. Начало силовой линии, согласно п. 80, должно быть расположено на положительно заряженной поверхности, а конец силовой линии должен находиться на отрицательно заряженной поверхности.
Началом и концом силовой линии называются соответствующие точки положительной и отрицательной заряженной поверхности.
Если силовая линия перемещается так, что её начало описывает замкнутую кривую на положительной поверхности, то её конец описывает соответствующую замкнутую кривую на отрицательной поверхности, а сами силовые линии образуют трубчатую поверхность, называемую трубкой индукции. Такую трубку называют Соленоидом 3.
3 От -труба. Фарадей (§ 3271) употребляет термин «сфондилоид» в том же смысле.
В каждой точке боковой поверхности трубки сила лежит в касательной плоскости, так что индукции поперёк поверхности нет. Следовательно, если в трубке не содержится заряженного вещества, то, согласно п. 77, полная индукция через замкнутую поверхность, образуемую боковой поверхностью трубки и двумя её торцами, равна нулю, следовательно, значение R cos dS для обоих торцов должно быть одинаково по величине и отличаться знаком.
Если эти торцевые поверхности являются поверхностями проводников, то =0 и R=-4, так что интеграл R cos dS переходит в -4dS, т. е. равен заряду поверхности, умноженному на 4.
Таким образом, положительный заряд участка поверхности, охватываемого замкнутой кривой в начале силовой трубки, численно равен отрицательному заряду, охватываемому соответствующей замкнутой кривой в конце силовой трубки.
Из свойств силовых линий можно вывести ряд важных следствий.
Внутренняя поверхность замкнутого проводящего сосуда совершенно лишена заряда, и потенциал всех точек внутри неё тот же, что и у проводника, если внутри сосуда нет заряженных тел.
Действительно, поскольку силовая линия должна начинаться на положительно заряженной поверхности, а кончаться на отрицательно заряженной, а никаких заряженных тел внутри сосуда нет, то силовая линия, если она существует внутри сосуда, должна начинаться и кончаться на самой поверхности сосуда. Но потенциал в начале силовой линии должен быть больше, чем в конце, между тем мы показали, что потенциал во всех точках проводника один и тот же.
Значит, в объёме внутри полого проводящего сосуда не может быть никаких силовых линий, если там нет никаких заряженных тел.
Если проводник, находящийся внутри замкнутого полого сосуда, соединён с этим сосудом, то его потенциал
Если представить себе произвольную заряженную поверхность разбитой на элементарные участки так, что заряд каждого участка равен единице, и если построить в силовом поле соленоиды, опирающиеся на эти элементарные площадки, то поверхностный интеграл через любую другую поверхность будет выражаться числом соленоидов, пересекаемых этой поверхностью. Именно в этом смысле Фарадей применяет понятие силовых линий для указания не только на направление, но и на величину силы в произвольной точке поля.
Мы пользуемся выражением Силовые Линии потому, что им пользовались Фарадей и другие. Строго говоря, их следовало бы назвать Линиями Электрической Индукции.
В обычных случаях линии индукции указывают также величину и направление результирующей электродвижущей напряжённости в каждой точке, поскольку напряжённость и индукция направлены одинаково и находятся в постоянном отношении. Однако бывают случаи, когда важно помнить, что эти линии указывают именно индукцию, а напряжённость непосредственно определяется эквипотенциальными поверхностями: она перпендикулярна этим поверхностям и обратно пропорциональна расстоянию между соседними поверхностями.
Об удельной индуктивной способности
83а. Выше при исследовании поверхностных интегралов мы приняли обычное представление о прямом воздействии на расстоянии и не учитывали никаких эффектов, зависящих от природы диэлектрической среды, в которой наблюдаются эти силы.
Но Фарадей заметил, что количество электричества, наводимое заданной электродвижущей силой на поверхности проводника, граничащего с диэлектриком, для разных диэлектриков различно. Для большинства твёрдых и жидких диэлектриков оно больше, чем для воздуха и для газов. Поэтому говорят, что у этих веществ удельная индуктивная способность больше, чем у воздуха, который Фарадей принял за эталонную среду.
Мы можем выразить теорию Фарадея на математическом языке, сказав, что в диэлектрической среде индукция через поверхность представляет собой произведение нормальной составляющей электрической напряжённости на коэффициент, являющийся удельной индуктивной способностью этой среды. Если этот коэффициент обозначить через K то всюду при вычислении поверхностных интегралов нам надо будет умножить X, Y, Z на K, так что уравнение Пуассона примет вид
d
dx
K
dV
dx
+
d
dy
K
dV
dy
+
d
dz
K
dV
dz
+
4
=
0.
(1)
На поверхности раздела двух сред с индуктивными способностями K1 и K2, потенциалы в которых мы обозначим V1 и V2, характеристическое уравнение можно записать в виде
K