Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
)+
x2
x1
dY
dy
+
dZ
dz
X
dx
dy
dz
.
(16)
Таково значение A для слоя, параллельного плоскости yz толщиной x2– x1.
Поскольку Y и Z непрерывны, то (dY/dy)+(dZ/dy) конечно, а поскольку X также конечно, то
x2
x1
dY
dy
+
dZ
dz
X
dx
<
C
(x
2
– x
1
)
,
где C -
При неограниченном уменьшении x2– x1 этот член стремится к нулю, так что
A
=
1
8
(X
2
2
– X
2
1
)
dy
dz
,
(17)
где X1– значение X на отрицательной стороне поверхности, а X2– на положительной.
Согласно п. 78б,
X
2
–
X
1
=
dV1
dx
–
dV2
dx
=
4
,
(18)
так что (17) можно переписать в виде
A
=
1
2
(X
2
+X
1
)
dy
dz
.
(19)
Здесь dydz - элемент поверхности, - поверхностная плотность, а (X2+X1)/2 - арифметическое среднее значение электродвижущих напряжённостей по обе стороны поверхности.
Таким образом, на элемент заряженной поверхности действует сила, составляющая которой по нормали к поверхности равна произведению заряда этого элемента на арифметическое среднее значений нормальной составляющей напряжённости по обе стороны поверхности.
Поскольку обе оставшиеся составляющие электродвижущей напряжённости не испытывают разрыва, вычисление их вклада в силу, действующую на поверхность, не вызывает осложнений.
Теперь мы можем считать, что нормаль к поверхности расположена произвольным образом относительно осей координат, и написать общее выражение для составляющих силы, действующей на элемент поверхности dS:
A
=
1/2
(X
1
+X
2
)
dS
,
B
=
1/2
(Y
1
+Y
2
)
dS
,
C
=
1/2
(Z
1
+Z
2
)
dS
,
(20)
Заряженная
80. Мы показали выше (п. 72), что всюду в веществе проводника при электрическом равновесии X=Y=Z=0, так что V постоянно. Следовательно,
dX
dx
+
dY
dy
+
dZ
dz
=
4
=
0,
т.e. равно нулю во всей толщине проводника: внутри проводника не может быть никаких зарядов.
Таким образом, на проводнике, находящемся в электрическом равновесии, возможно лишь поверхностное распределение электричества.
Распределение электричества в толще тела возможно лишь для непроводящих тел.
Поскольку внутри проводника результирующая напряжённость равна нулю, то вне проводника, непосредственно у его поверхности, она должна быть направлена по нормали к поверхности, равняться 4 и действовать в наружном направлении.
Это соотношение между поверхностной плотностью и результирующей напряжённостью вблизи поверхности проводника известно как Закон Кулона, поскольку Кулон экспериментально установил, что электродвижущая напряжённость вблизи некоторой точки поверхности проводника перпендикулярна поверхности и пропорциональна поверхностной плотности в этой точке. Численное значение R=4 было установлено Пуассоном.
Сила, действующая на элемент заряженной поверхности проводника dS равна, согласно п. 79, (R/2)dS = 2^2dS = (R^2/8)dS, поскольку с внутренней стороны поверхности напряжённость равна нулю.
Эта сила действует по нормали к проводнику и направлена наружу независимо от того, заряжена поверхность положительно или отрицательно.
Сила в динах, действующая на один квадратный сантиметр поверхности, равна (R/2) = 2^2 = R^2/8, она действует как натяжение наружу от поверхности проводника.
81. Если теперь представить себе заряженное продолговатое тело, то, уменьшая его поперечные размеры, можно прийти к понятию заряженной линии.
Пусть ds - длина небольшого элемента продолговатого тела, c - его периметр, а - поверхностная плотность заряда на его поверхности. Обозначая через заряд, приходящийся на единицу длины, получим =c. При этом результирующая электрическая напряжённость вблизи поверхности будет равна 4=4/c.
Если при постоянном неограниченно уменьшать c, то напряжённость на поверхности будет стремиться к бесконечности. Но для каждого диэлектрика существует предел, выше которого напряжённость не может подняться, не вызывая пробоя. Поэтому распределение электричества, при котором конечное количество электричества расположено на конечном участке линии, несовместимо с условиями, существующими в природе.
Даже если бы и нашёлся такой изолятор, в котором бесконечная напряжённость не вызывает пробоя, линейный проводник всё равно нельзя было бы зарядить конечным количеством электричества, так как, поскольку конечный заряд создал бы бесконечный потенциал, потребовалось бы бесконечно большая электродвижущая сила, чтобы перенести заряд на линейный проводник.