Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Рассмотрим объёмный интеграл
W
D
=
2
(
f^2
+
g^2
+
h^2
)
dx
dy
dz
(36)
по всему полю внутри s и вне s1, s2, … и сравним его с интегралом
W
=
1
8
d
dx
^2
+
d
dy
^2
+
d
dz
^2
dx
dy
dz
(37)
по
Положим
u
=
f
+
1
4
d
dx
,
v
=
g
+
1
4
d
dy
,
w
=
h
+
1
4
d
dz
(38)
и введём
W
C
=
2
(
u^2
+
v^2
+
w^2
)
dx
dy
dz
.
(39)
Тогда, поскольку
f^2
+
g^2
+
h^2
=
1
16^2
d
dx
^2
+
d
dy
^2
+
d
dz
^2
+
u^2
+
v^2
+
w^2
–
1
2
u
d
dx
+
v
d
dy
+
w
d
dz
,
(40)
то
W
D
=
W
+
W
C
–
–
u
d
dx
+
v
d
dy
+
w
d
dz
dx
dy
dz
.
Но, во-первых, u, v, w, удовлетворяют условию соленоидальности в любой точке поля, поскольку, согласно (38),
du
dx
+
dv
dy
+
dw
dz
=
df
dx
+
dg
dy
+
dh
dz
–
1
4
^2
,
(41)
a no (34) и (32) оба слагаемых правой части (41) равны нулю.
Во-вторых, имеет место равенство
(
l
1
u
+
m
1
v
+
n
1
w
)
ds
1
=
=
(
l
1
f
+
m
1
g
+
n
1
h
)
ds
1
+
1
4
d
d1
ds
1
.
(42)
Но
(
l
1
u
+
m
1
v
+
n
1
w
)
ds
1
=
0.
(43)
Таким образом, так как 1 постоянно, выполняется четвёртое условие п. 100 а, так что последнее слагаемое в правой части (40) равно нулю и уравнение сводится к
W
D
=
W
+
W
C
.
(44)
Далее, подынтегральное выражение в WC является суммой трёх квадратов u^2+v^2+w^2 и, следовательно, либо положительно, либо равно нулю. Если хоть в одной точке в поле u, v, и w не равны одновременно нулю, то интеграл WC положителен, так что WD больше W. Но и значения u=v=w=0 во всех точках этим условиям удовлетворяют.
Таким образом, если в каждой точке
f
=
–
1
4
d
dx
,
g
=
–
1
4
d
dy
,
h
=
–
1
4
d
dz
,
(45)
то
W
D
=
W
(46)
и величина для этих значений f, g, h меньше, чем для любых других значений f, g, h.
Итак, задача определения смещения и потенциала в каждой точке поля при заданных зарядах на каждом проводнике имеет одно и только одно решение.
Эта теорема в одном из более общих вариантов была впервые установлена сэром У. Томсоном 5. Ниже мы укажем возможные обобщения теоремы.
5Cambridge and Dublin Mathematical Journal, February, 1848.
100 г. Можно видоизменить эту теорему, предположив, что вектор D не соленоидальный в каждой точке, а удовлетворяет условию