Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Предположим теперь, что вокруг точки P как центра описана сфера очень малого радиуса a. Поскольку в области вне сферы, но внутри поверхности s, функция никаких особенностей не имеет, то мы можем применить к ней Теорему Грина, не забыв учесть при поверхностном интегрировании и поверхность малой сферы.
При вычислении объёмных интегралов следует из интеграла, взятого по всей области, вычесть интеграл по объёму малой сферы.
Но интеграл
^2
dx
dy
dz
по объёму сферы не может по абсолютной величине превосходить
(^2)
g
dx
dy
dz
,
т.е.
(^2)
g
2ea^2
+
4
3
a^3
0
,
где
Таким образом, этот объёмный интеграл порядка a^2 и может быть опущен при стремлении a к нулю.
Второй объёмный интеграл
^2
dx
dy
dz
мы будем считать взятым по объёму между малой сферой и поверхностью s так что область интегрирования не включает точки, где обращается в бесконечность.
Поверхностный интеграл
d
d
ds'
для сферы не может численно превосходить
g
d
d
ds'
Но по Теореме III, п. 21,
d
d
ds
=-
^2
dx
dy
dz
,
так как здесь d отсчитывается наружу от сферы. Этот интеграл не может численно превосходить (^2)g·4/3·a^3, а g на поверхности примерно равно e/a так что
d
d
ds
не может численно превосходить
4
3
a^2e
(^2)
g
,
т.е. он порядка a^2 и в пределе при a, стремящемся к нулю, может быть опущен.
Однако поверхностный интеграл по сфере, стоящий в правой части равенства (4):
d
d
ds'
,
не обращается в нуль, так как
d
d
ds'
=
– 4e
,
d отсчитывается наружу от сферы).
Обозначая через 0 значение в точке P, получим
d
d
ds
=
– 4e
0
.
Таким образом, уравнение (4) принимает вид
d
d
ds
–
^2
d
– 4e
0
=
=
d
d
ds
–
^2
d
.
(4b)
97
Грин начинает с прямой задачи, когда задано распределение поверхностной плотности а потенциалы во внутренней точке P и во внешней точке P' находятся интегрированием:
P
=
r
ds
,
'
P'
=
r'
ds
,
(9)
где r и r' соответственно расстояния от точек P и P'.
Полагая =1/r и применив Теорему Грина к объёму внутри поверхности с учётом того, что ^2=0 и ^2=0 в области интегрирования, получим
dr– 1
d'
ds
–
4
P
=
1
r
d
d'
ds
,
(10)
где P– значение в точке P.
Применим ещё раз эту теорему к объёму, ограниченному поверхностью s и охватывающей её поверхностью на бесконечно большом расстоянии a. Вклад в поверхностный интеграл от бесконечно удалённой поверхности будет порядка 1/a и может быть опущен, откуда
'
dr– 1
d'
ds
=
1
r
d'
d
ds
.
(11)
Но на поверхности =, а поскольку нормали и ' направлены в противоположные стороны, то
dr– 1
d
ds
+
dr– 1
d'
ds
=
0.
Таким образом, при сложении уравнений (10) и (11) члены в левой части сократятся, и мы получим
– 4
P
=
1
r
d
d'
+
d'
d
ds
.
(12)
97 б. Грин показал также, что при произвольно заданном потенциале в каждой точке замкнутой поверхности s можно найти потенциал в любой точке внутри и вне поверхности, если ^2=0 вне и внутри поверхности.
Для этого он выбрал функцию такой, что вблизи точки P она близка к 1/r, а на поверхности s равна нулю, причём в каждой точке внутри поверхности ^2=0.