Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Отсюда следует, что 1– единственная функция от x, y, z, равная на поверхности и удовлетворяющая уравнению Лапласа внутри поверхности.
Если бы этим условиям удовлетворяла какая-нибудь другая функция 3, то W3 должно было бы быть меньше любого другого значения W. Но мы уже показали, что W1 меньше любого другого значения, а следовательно, и меньше W3. Следовательно, никакая функция, отличная от 1, не может удовлетворять этим условиям.
Ниже мы увидим, что наиболее
Из всех функций , удовлетворяющих этим условиям, W минимально для той функции, которая для каждой точки в поле удовлетворяет условию ^2=0.
Теорема Томсона
Лемма
100 а. Пусть - произвольная функция x, y, z, конечная и непрерывная внутри замкнутой поверхности s и принимающая на некоторых замкнутых поверхностях s1, s2, …, sp, … значения 1, 2, …, p, …, постоянные на каждой поверхности.
Пусть u, v, w - функции x, y, z, которые мы можем рассматривать как составляющие вектора C, удовлетворяющего условию соленоидальности
– S.C
=
du
dx
+
dv
dy
+
dw
dz
=
0.
(28)
Положим в Теореме III
X
=
u
,
Y
=
v
,
Z
=
w
.
(29)
В результате этих подстановок получим
p
p
(
l
p
u
+
m
p
v
+
n
p
w
)
ds
p
+
+
du
dx
+
dv
dy
+
dw
dz
dx
dy
dz
+
+
u
d
dx
+
v
d
dy
+
w
d
dz
dx
dy
dz
=
0;
(30)
где поверхностные интегралы берутся по различным поверхностям, объёмные интегралы - по всему полю, а lp, mp, np– направляющие косинусы нормали к поверхности sp в сторону поля. Первый объёмный
1) если для любой точки поверхности =0,
2) если для любой точки поверхности lu + mv + nw =0,
3) если поверхность состоит вся из частей, на которых выполняется либо (1), либо (2),
4) если постоянно на каждой замкнутой поверхности и (lu+mv+nw)ds=0.
В этих четырёх случаях объёмный интеграл
M
=
u
d
dx
+
v
d
dy
+
w
d
dz
dx
dy
dz
=
0.
(31)
100 б. Рассмотрим теперь поле, ограниченное замкнутой поверхностью s и внутренними замкнутыми поверхностями s1, s2, ….
Пусть - функция x, y, z конечная и непрерывная в точках поля, удовлетворяющая Уравнению Лапласа
^2
=
0.
(32)
имеющая постоянные, но не заданные значения 1, 2, … соответственно на поверхностях s1, s2, … и нулевое значение на внешней поверхности s.
Заряд любой из заряженных поверхностей, скажем s1, даётся поверхностным интегралом
e
1
=-
1
4
d
d1
ds
1
,
(33)
где нормаль 1 направлена от поверхности s1 в сторону электрического поля.
100 в. Пусть теперь f, g, h - функции x, y, z, которые можно рассматривать как составляющие некоторого вектора D, удовлетворяющие только тому условию, что в каждой точке поля должно выполняться условие соленоидальности
df
dx
+
dg
dy
+
dh
dz
=
0,
(34)
и что на каждой из внутренних замкнутых поверхностей, скажем s1 интеграл типа
(
l
1
f
+
m
1
g
+
n
1
h
)
ds
=
e
1
,
(35)
где l1, m1, n1, - направляющие косинусы нормали 1 к поверхности s1, в сторону электрического поля, а e1– та же величина, что и в (33), т. е. фактически электрический заряд проводника, ограниченного поверхностью s1.