Трактат об электричестве и магнетизме, Максвелл Джеймс Клерк

Трактат об электричестве и магнетизме

на обложку

Максвелл Джеймс Клерк

Шрифт:

Второй тип распределения - такое распределение, при котором конвергенция (сходимость) (п. 25) равна нулю в каждой точке. Такое распределение можно назвать Соленоидальным. Скорость несжимаемой жидкости имеет соленоидальное распределение.

Если центральные силы, которые, как мы уже говорили, дают безвихревое распределение равнодействующей силы, меняются обратно пропорционально квадрату расстояния и если центры сил находятся вне поля, то распределение силы в поле будет как соленоидальным, так и безвихревым.

Если движение несжимаемой жидкости, которое, как мы уже отмечали, является соленоидальным, происходит под действием

центральных сил, зависящих от расстояния, или под действием поверхностного давления на первоначально покоившуюся жидкость без трения, то распределение скоростей будет как безвихревым, так и соленоидальным.

Распределение, являющееся одновременно безвихревым и соленоидальным, мы будем называть Лапласовым распределением, поскольку Лаплас указал на ряд наиболее интересных свойств этого распределения.

Рассматриваемые в этой главе объёмные интегралы представляют собой, как мы увидим, выражения для энергии электрического поля. В первой группе теорем, начинающейся с теоремы Грина, энергия выражается через напряжённость электрического поля, являющуюся безвихревым вектором во всех случаях равновесия электричества. Показывается, что при заданных потенциалах поверхностей из всех безвихревых распределений наименьшую энергию имеет распределение, являющееся также и соленоидальным. Отсюда следует, что возможно лишь одно лапласово распределение, согласующееся с потенциалами поверхностей.

Во второй группе теорем, включающей теорему Томсона, энергия выражается через электрическое смещение, являющееся соленоидальным вектором. Показывается, что при заданных зарядах поверхностей из всех соленоидальных распределений распределение, имеющее наименьшую энергию, является также и безвихревым. Отсюда также следует, что возможно лишь одно лапласово распределение, согласующееся с заданными зарядами поверхностей.

Доказательство всех этих теорем проводится однотипно. Во избежание повторений мы каждый раз при проведении поверхностного интегрирования в прямоугольной системе координат будем использовать теорему III из п. 21 1 где дан подробный вывод соотношения между объёмным интегралом и соответствующим поверхностным интегралом. Нам нужно будет лишь подставить вместо X, Y, и Z в формулировке теоремы составляющие конкретного рассматриваемого вектора.

1 Эта теорема была, по-видимому, впервые дана Остроградским в его работе, доложенной в 1828 г., но опубликованной лишь в 1831 г. в Mem. de L'Acad. de St. P'etersbourg. T. I, p. 39. Её можно рассматривать, однако, как одну из форм уравнения непрерывности.

В первом издании этой книги утверждения каждой теоремы осложнялись множеством взаимно исключающих условий, имевших целью показать степень общности теоремы и многообразие случаев её применения, однако это лишь приводило к смешению в умах читателей того, что предполагается, и того, что требуется доказать.

В настоящем издании каждая теорема сначала устанавливается в более определённой, подчас в более ограниченной, форме, а затем показывается возможность её дальнейших обобщений.

До сих пор мы обозначали потенциал буквой V. Мы будем продолжать пользоваться этим обозначением и дальше в пределах электростатики. Однако в этой главе, а также в тех разделах второго тома, где электрический потенциал встречается в электромагнитных расчётах, мы будем использовать

специальное обозначение для электрического потенциала.

Теорема Грина

96 а. Следующая важная теорема дана Джорджем Грином в его «Опыте применения математики к электричеству и магнетизму».

Теорема эта относится к пространству, ограниченному замкнутой поверхностью s. Мы будем называть это конечное пространство Полем. Пусть - нормаль, проведённая от поверхности в сторону поля, а l, m, n - направляющие косинусы этой нормали. Тогда выражение

(1)

даёт скорость изменения функции при движении вдоль нормали . В дальнейшем будет считаться, что значение d/d берётся на самой поверхности, где =0. Будем, как и в п. 26 и 77 пользоваться обозначением

d^2

dx^2

d^2

dy^2

d^2

dz^2

– ^2

(2)

а для двух функций и будем писать

– S.

(3)

Читатель, незнакомый с методом Кватернионов, может, если угодно, считать выражения ^2 и S. просто удобными сокращёнными обозначениями соответствующих величин, к которым они приравнены выше, а поскольку мы будем в дальнейшем использовать лишь обычные декартовы координаты, то Кватернионное истолкование этих выражений нам не понадобится. Мы, однако, пользуемся именно этими обозначениями, а не произвольными другими сокращениями, поскольку на языке Квартернионов они полностью представляют соответствующую величину. Оператор в применении к скалярной функции даёт пространственную вариацию этой функции, а выражение -S. даёт скалярную часть произведения двух пространственных вариаций, т. е. произведение одной из пространственных вариаций на составляющую другой вариации в направлении первой. Выражение d/d записывается в терминах Кватернионов как S.U где U - единичный вектор в направлении нормали. На данном этапе не видно особой выгоды в применении этого обозначения, однако оно окажется удобным при рассмотрении анизотропных сред.

Доказательство теоремы Грина

Пусть и - две функции от x, y, z, конечные и непрерывные вместе со своими первыми производными в односвязной области , ограниченной замкнутой поверхностью s. Тогда

–