Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Q
+
K
zz
R
,
где первый индекс в каждом коэффициенте K указывает направление составляющей смещения, а второй - направление составляющей электродвижущей напряжённости.
В самом общем виде в линейную векторную функцию входят девять независимых коэффициентов. Если коэффициенты с одинаковой парой индексов равны между собой, то такая функция называется самосопряжённой.
Если выразить E через D, то получится соотношение типа E=4– 1(D), т. е.
P
=
4(
k
xx
f
+
k
yx
g
+
k
zx
h
),
Q
=
4(
k
xy
f
+
k
yy
g
+
k
zy
h
),
R
=
4(
k
xz
f
+
k
yz
g
+
k
zz
h
).
101 e.
dW
=
+
Qdg
+
Rdh
.
Поскольку диэлектрик, в котором имеет место электрическое смещение, является консервативной системой, то W должно быть функцией f, g, h, а поскольку f, g, h могут меняться независимо, то
P
dW
df
,
Q
dW
dg
,
R
dW
dh
.
Отсюда следует, что
dP
dg
=
d^2W
dgdf
=
d^2W
dfdg
=
dQ
df
.
Ho dP/dg=4kyx– коэффициент передав выражении для P, a dQ/df=4kyx– коэффициент перед f в выражении для Q.
Таким образом, если диэлектрическая среда является консервативной системой (а мы знаем, что это так, потому что её энергия может сохраняться неограниченно долго), то kxy=kyx т.е. – 1– самосопряжённая функция.
Отсюда следует, что и - самосопряжённая функция, т. е. Kxy=Kyx.
101 ж. Следовательно, выражение для энергии можно представить в любой из следующих форм:
W
E
1
8
=
[
K
xx
P^2
+
K
yy
Q^2
+
K
zz
R^2
+
2K
yz
QR
+
+
2K
zx
RP
+
2K
xy
PQ
]
dx
dy
dz
.
или
W
D
=
2
[
k
xx
f^2
+
k
yy
g^2
+
k
zz
h^2
+
2k
yz
gh
+
+
2k
zx
hf
+
2k
xy
fh
]
dx
dy
dz
,
где
Таким образом, мы имеем всего шесть различных выражений для энергии электрического поля. Три из них содержат заряды и потенциалы поверхностей проводников и приведены в п. 87. Три других выражения являются объёмными интегралами по всему электрическому полю и содержат составляющие электродвижущей напряжённости, или электрического смещения, или и те и другие.
Поэтому первые три интеграла относятся к теории взаимодействия на расстоянии, а три последних - к теории воздействия через посредство промежуточной среды. Их можно представить в виде
W
=-
1
2
S.DE
d
,
W
E
=-
2
S.E(E)
d
,
W
D
=-
1
8
S.D
– 1
(D)
d
.
101 з. Чтобы обобщить Теорему Грина на случай неоднородной анизотропной среды, достаточно лишь положить в Теореме III, п. 21,
X
=
K
xx
d
dx
+
K
xy
d
dy
+
K
xz
d
dz
,
Y
=
K
yx
d
dx
+
K
yy
d
dy
+
K
yz
d
dz
,
Z
=
K
zx
d
dx
+
K
zy
d
dy
+
K
zz
d
dz
,
и мы получим
(
K
xx
l
+
K
yx
m
+
K
zx