Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
df
dx
+
dg
dy
+
dh
dz
=
,
(47)
где - конечная функция, значение которой задано в каждой точке поля; она может быть положительной и отрицательной, непрерывной и разрывной, но интеграл от неё по конечному объёму должен быть конечен.
Можно также предположить, что на некоторых поверхностях, расположенных в поле, имеет место соотношение
lf
+
mg
+
nh
+
l'f'
+
m'g'
+
n'h'
=
,
(48)
где l, m, n
100 д. Можно также изменить условие на граничных поверхностях, приняв, что в каждой точке этих поверхностей
lf
+
mg
+
nh
=
,
(49)
где задано во всех точках.
(В первоначальной формулировке теоремы мы считали заданным лишь интеграл от по каждой из поверхностей. Здесь мы считаем заданным значение на каждом элементе. Это всё равно, что рассматривать в первоначальной формулировке теоремы каждый элемент как отдельную поверхность.)
Во всех этих модификациях теорема остаётся справедливой, если только помнить, что должно удовлетворять соответствующим условиям, т.е. общему условию
d^2
dx
+
d^2
dy
+
d^2
dz
+
4
=
0
(50)
и условию на поверхности
d
d
+
d'
d'
+
4
=
0
(51)
Действительно, положив, как ранее,
f
+
1
4
d
dx
=
u,
g
+
1
4
d
dy
=
v,
h
+
1
4
d
dz
=
w,
получим, что u, v, w удовлетворяют общему условию соленоидальности
du
dx
+
dv
dy
+
dw
dz
=
0,
условию на поверхности
lu
+
mv
+
nw
+
l'u'
+
m'v'
+
n'w'
=
0
и условию на граничной поверхности
lu
+
mv
+
nw
=
0
откуда
M
=
u
d
dx
+
v
d
dy
+
w
d
dz
dx
dy
dz
=
0.
и
W
D
=
W
+
W
C
.
Как и прежде, показывается, что WD имеет единственный минимум при WC, что означает равенство нулю u^2 + v^2 + w^2 во всех точках, так что
f
=-
1
4
d
dx
,
g
=-
1
4
d
dy
,
h
=-
1
4
d
dz
101 а. В нашем доказательстве этих теорем мы до сих пор ограничивались той теорией электричества, которая считает свойства электрических систем зависящими от формы и относительного расположения проводников и их зарядов, но никак не учитывает природы диэлектрической среды, находящейся между проводниками.
Согласно этой теории, существует, например, неизменное соотношение между поверхностной плотностью на проводнике и электродвижущей напряжённостью вне проводника у самой поверхности, даваемое законом Кулона: R=4.
Но это верно только для эталонной среды, за которую можно принять воздух. В других средах соотношение будет иным, как показал экспериментально, хотя и не опубликовал, Кавендиш, а затем независимо вновь открыл Фарадей.
Для полного описания этого явления мы нашли необходимым рассмотреть две векторные величины, соотношение между которыми в разных средах различно. Одна - это электродвижущая напряжённость, другая - электрическое смещение. Электродвижущая напряжённость связана соотношением неизменного вида с потенциалом, электрическое смещение связано соотношением неизменного вида с распределением заряда, но соотношение между электродвижущей напряжённостью и электрическим смещением зависит от природы диэлектрической среды и должно выражаться уравнениями, наиболее общая форма которых до сих пор ещё полностью не установлена и может быть установлена лишь в результате опытов с диэлектриками.
101 б. Электродвижущая напряжённость - вектор, определённый в п. 68 как отношение механической силы, действующей на малый заряд, к величине этого заряда e. Её составляющие мы обозначим через P, Q, R, а сам вектор - через E.
В электростатике криволинейный интеграл от E всегда не зависит от пути интегрирования, т. е., иными словами, E является пространственной вариацией потенциала. Таким образом, P=-d/dx, Q=-d/dy, R=-d/dz, или, короче, пользуясь Кватернионными обозначениями, E=-.