Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума
Шрифт:
х = 2
f(2) = 22 = 4
f(4) = 42 = 16
f(16) = 162 = 256
=> Орбита точки 2 = {2, 4, 16, 256…} —>
Компьютер позволил увидеть, что произойдет с похожей функцией на поле комплексных чисел:
Результат оказался неожиданным и с математической, и с эстетической точки
Математики смогли увидеть множество Мандельброта лишь в 1980 году, и до этого им не приходилось сталкиваться со столь же сложным объектом. Помимо фрактальной природы, ввиду которой части этого множества подобны целому, это множество обладает безграничным разнообразием. Если мы рассмотрим увеличенное изображение любой его части, то увидим, что одни и те же фигуры повторяются в нем снова и снова:
Множество М обладает самоподобием и одновременно изменчивостью бесконечной спирали. Оно являет собой прекрасный пример математического творчества.
С точки зрения топологии фрактальная кривая отличается от традиционных. Принципиальное отличие фрактальных кривых состоит как раз в их бесконечном самоподобии: если увеличить часть традиционной кривой в окрестности любой точки, она будет представлять собой отрезок, в то время как любой увеличенный фрагмент фрактальной кривой, напротив, будет иметь ту же форму, что и исходная кривая. В результате размерность фрактальных объектов не выражается целым числом от 1 до 3, в отличие от традиционных кривых. Размерность кривой Коха, например, равна 1,26186… По сути, несмотря на то что компьютер позволяет наглядно представить различные этапы построения фрактальных объектов, мы никогда не сможем увидеть результат этого процесса, так как он бесконечен. Увидеть окончательные очертания фрактальных кривых нельзя. Когда мы пытаемся поближе рассмотреть их, то видим, что они меняются и выглядят не так, как нам казалось раньше.
* * *
СЪЕДОБНЫЙ ФРАКТАЛ
Фракталы столь часто встречаются в реальном мире, что можно свободно говорить о фрактальной геометрии природы. Однако в природе фракталы обычно обладают не более чем четырьмя уровнями самоподобия, как, например, ветви растений, нервные окончания или подземные водоносные слои. Фрактальная размерность — это характеристика, позволяющая обнаруживать костные патологии и описывать электроэнцефалограммы.
Цветная капуста, изображенная на иллюстрации, в действительности является гибридом, который впервые был обнаружен в Италии в XVI веке. Ее структура представляет собой удивительный пример фрактальной геометрии в природе. Кочан капусты (первый уровень) состоит из уменьшенных копий самого себя (второй уровень), расположенных в форме спирали. Каждая из них, в свою очередь, также состоит из уменьшенных копий самой себя, которые вновь располагаются по спирали (третий уровень). Это же подобие наблюдается и на следующем, четвертом уровне.
Глава 3
Вопросы, которые задает мир
В предыдущей главе мы рассказали о величайших математических творениях за всю историю математики. Сегодня эту науку двигают вперед преимущественно профессионалы, но не исключительно они. Творить математику означает не только создавать великие теоремы, которые войдут в историю, но и ставить задачи, объяснять явления с математической точки зрения,
В этой главе мы расскажем о математическом творчестве в самых разных областях, большинство из которых далеки от академической среды. Приведенные нами примеры — результат того, что кто-то задал новые вопросы, попытался найти иное решение, придать новое значение уже известным понятиям и применить уже известные идеи в новом контексте. Творчество — это жизнь. Если мы задаемся вопросами из области математики, то мы творим математику.
С чего начать? В чем секрет математического творчества? Поиски ответов на эти вопросы можно начать в повседневной жизни. Мы рассмотрим некоторые явления, с которыми сталкиваются все, но лишь немногие подошли к ним с математической точки зрения. Далее мы отойдем от реальности и в итоге окажемся в чисто математическом мире.
Для того чтобы рассмотреть интересующее нас явление, объект или процесс с точки зрения математики, нужно задать объективные вопросы, ответы на которые будут определяться не нашими предпочтениями, вкусами или соображениями удобства, а требованиями четкости и измеримости. Так будет сделан первый выбор, касающийся точки зрения, которую следует принять.
Первое, что мы делаем после пробуждения утром, — это идем в ванную, чтобы привести себя в порядок. Мы смотримся в зеркало, когда умываемся, бреемся, накладываем макияж, стрижемся. Мы смотримся в зеркало каждый день. Чего мы хотим от него? Совсем немногого: мы всего лишь хотим увидеть в нем свое лицо полностью. После завтрака и перед тем, как закрыть за собой дверь и отправиться по делам, мы мельком смотрим в зеркало, чтобы проверить, все ли в порядке. Чего мы хотим от зеркала на этот раз? Чтобы мы отразились в нем в полный рост.
Сколько раз мы совершали эти действия и сколько раз мы задавались вопросом, какие размеры должно иметь зеркало, чтобы в нем полностью отразилось наше лицо или мы сами в полный рост? Мы задаемся этим вопросом крайне редко, если вообще когда-нибудь думаем об этом. Представьте, что вы стоите перед зеркалом, в котором вы отражаетесь в полный рост. Какой должна быть минимальная высота такого зеркала? Начнем с того, что изобразим эту ситуацию на схеме с помощью точек и отрезков:
< image l:href="#"/>Схема показывает, какими должны быть минимальные размеры зеркала. Нужно определить, каким должно быть отношение размеров отражающей поверхности и отражающегося в ней лица. Для этого сделаем схему еще более условной: проведем вспомогательные линии, которые помогут решить задачу, и обозначим основные точки буквами:
Так как отражение R'S' симметрично исходному отрезку RS, и изображение в зеркале расположено на том же расстоянии от зеркала, что и оригинал, но по другую его сторону, получим RX = XR'. Кроме того, RX = RR'/2.
Помимо этого, треугольники OAY и OR'О' подобны, так как два их угла равны. Аналогично для треугольников OYB и OO'S'. Так как RX = RR'/2, коэффициент подобия этих треугольников равен 2, поэтому AY = R'O'/2 = RO/2, а также YB = O'S'/2 = OS/2.