Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума
Шрифт:
За счет этого узлы можно описывать числом вершин на каждой из сторон сетки, через которые проходит нить узла. Первый из улов, представленных выше, — узел 3 x 2, второй — 3 x 3, последний — 6 x 4. Узел 3 x 2 располагается на сетке размером 6 х 4 и проходит через вершины 1–3–3 в горизонтальных рядах и через вершины 1–3 — в вертикальных рядах. Сетка 6 x 4 понимается как (1 + 2·2 + 1) х (1 + 2 + 1). Остальные узлы описываются аналогично. Узел 3 x 3 располагается на сетке 6 х 6 = (1 + 2·2 + 1) х (1 + 2·2 + 1), узел 6 x 4 — на сетке 12 х 8 = (1 + 2·5 + 1) х (1 + 2·3 +1).
Можно сказать, что ответ на вопрос, будет ли узел бесконечным, зависит от числа вершин, через которые проходит нить
В чем же ключ к решению задачи? Нить смещается влево, вправо, вверх и вниз. Если бы мы не ограничивались одним прямоугольником, а продолжили узел дальше по вертикали и по горизонтали, то смогли бы понять суть проблемы. Рассмотрим узел (3 х 2):
Мы начинаем с точки 1, затем, сместившись на две единицы вправо, попадаем в 3, затем в 2 и наконец снова в 1. Получается числовая последовательность, которая циклически повторяется до бесконечности:
[1, 3, 2] = 1, 3, 2, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 1…
На сетке размером (4 х 2) требуется два таких цикла:
В первом случае мы перепрыгиваем через две клетки. Полный цикл завершается после шести шагов, когда мы возвращаемся в исходную точку 1. Мы обошли все цифры 1, 2 и 3. Во втором случае для обхода всех цифр требуется два цикла:
Почему? Потому что 4 делится на 2. Если мы начинаем цикл в точке 1, то мы всегда будем проходить через точки 1 и 3 и никогда — через 2 и 4. Для этого потребуется новый цикл с началом в точке 2. В предыдущем случае цикл завершается после 6 = НОК (3, 2) этапов, и требуется всего один цикл, так как НОД (3, 2) = 1.
Это же происходит и в примере с сеткой 6 x 4, где НОД (6, 4) = 2 цикла, и на сетке 3 х 3, где число циклов равно 3 = НОД (3, 3). Подведем итог.
Теорема: На сетке размером (m, n) число циклов равно НОД (m, n).
Следствие 1: Если m и n — взаимно простые, то на сетке (m, n) имеется единственный бесконечный цикл.
Следствие 2: На сетке размером (m, n) число петель равняется 2 х (m + n).
При посадке деревьев в шахматном порядке саженцы располагаются в вершинах воображаемых равносторонних треугольников — это гарантирует, что все деревья будут располагаться друг от друга на одинаковом расстоянии:
Если
Предложение 1 из «Начал» Евклида: построение равностороннего треугольника на данном отрезке АВ.
Для этого построения нужно заменить циркуль веревкой, длина которой равна длине стороны искомого треугольника. Садовод должен обходить участок, проводя дуги окружностей и отмечая точки их пересечения.
Сначала он отметит точки на одной прямой, равноудаленные друг от друга:
Затем, использовав каждую из этих точек в качестве центра окружности, он проведет дуги, которые пересекутся в вершинах равносторонних треугольников:
В результате садовод определит, где нужно посадить деревья.
Так эту задачу решил бы математик. Однако, согласно Жиль-Альберу (1999), садоводы строят сетку из треугольных ячеек следующим образом:
«Посадка в шахматном порядке <…>. Чтобы определить, где следует сажать деревья, достаточно, чтобы один рабочий взял в руки рулетку и встал там, где нужно посадить первое дерево. Второй рабочий, взяв в руки конец рулетки, должен отойти на расстояние, равное желаемому расстоянию между деревьями (например, 5 м) и отмотать ленту длиной в два раза больше чем требуется (если деревья планируется посадить на расстоянии 5 м друг от друга, рабочий должен отмотать 10 м ленты рулетки). Третий рабочий должен взяться за середину ленты рулетки и отойти в сторону, натягивая ленту. Когда лента рулетки натянется полностью, третий рабочий окажется точно в том месте, где нужно посадить третье дерево».
Здесь равносторонний треугольник понимается как частный случай равнобедренного. Именно на этом примере можно оценить справедливость фразы: теоретическое решение практической задачи обычно является не лучшим практическим решением. Вот и в этом случае решение, предложенное профессиональным математиком, на практике не применяется. С математической точки зрения, напротив, практика не имеет значения. Не имеет значения и то, что в практическом решении равносторонний треугольник понимается иначе — для математика это не новость.
Тем не менее практически решил эту задачу не математик, а садовод. И практическое решение математической задачи — это результат математического творчества.
При обрезке деревьев обычно удаляются ветви нижней его трети, и лесничему нужно на глаз определить эту часть дерева. Является ли треть того, что мы видим, третьей частью того, на что мы смотрим? Как правило, это не так: