Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума
Шрифт:
И тогда незнакомец сказал:
— Рассмотрите хорошенько, вам больше никогда ее не увидеть.
В словах, а не в тоне, звучало предостережение.
Я заметил страницу и захлопнул книгу. И тут же открыл ее. Напрасно я искал, страница за страницей, изображение якоря…
<…>
— …Ее владелец не умел читать… Он объяснил мне, что его книга называется Книгой Песка, потому что она, как и песок, без начала и конца» [2] .
Если бы книга была конечной, то как бы много страниц в ней ни было (например, N), вероятность снова открыть ее на определенной странице была бы небольшой, но не нулевой. В бесконечной книге эта вероятность
2
Перевод В. С. Кулагиной-Ярцевой. — Примеч. ред.
Страницы «Книги песка» вполне могли быть пронумерованы натуральными числами: 1, 2, 3, … При такой нумерации книгу нельзя было бы открыть на последней странице, но можно было бы открыть на первой, однако в рассказе говорится, что у книги нет ни начала, ни конца. В попытках найти начало или конец книги герою все время попадались новые и новые страницы:
«Он попросил меня найти первую страницу. Я положил левую руку на титульный лист и плотно сомкнутыми пальцами попытался раскрыть книгу.
Ничего не выходило, между рукой и титульным листом всякий раз оказывалось несколько страниц. Казалось, они вырастали из книги.
— Теперь найдите конец.
Опять неудача; я едва смог пробормотать:
— Этого не может быть.
<…>
— Не может быть, но так есть. Число страниц в этой книге бесконечно.
Первой страницы нет, нет и последней. Не знаю, почему они пронумерованы так произвольно. Возможно, чтобы дать представление о том, что члены бесконечного ряда могут иметь любой номер. <…> Если пространство бесконечно, мы пребываем в какой-то точке пространства. Если время бесконечно, мы пребываем в какой-то точке времени» [3] .
3
Перевод В. С. Кулагиной-Ярцевой. — Примеч. ред.
Так как в книге нет первой страницы, наша гипотеза о натуральных числах ошибочна. На каком множестве чисел отсутствует первый элемент? На множестве положительных рациональных чисел, то есть на множестве конечных или периодических десятичных дробей. Это множество не только бесконечное и счетное (его элементы можно сосчитать), но на нем также нет первого и последнего числа, ведь первого положительного рационального числа после нуля не существует. Если бы это число, назовем его А, существовало, то мы всегда могли бы разделить его пополам и получить A/2 — положительное рациональное число, меньшее А:
0 < А/2 < A
Первым рациональным числом должно быть A/2. Но это вновь неверно, так как A/4 еще меньше, А/8 — еще меньше. Таким образом, между данным рациональным числом (обозначающим первую страницу «Книги песка») и нулем (обозначающим обложку книги) может уместиться бесконечно много рациональных чисел (страниц книги). Мы можем пронумеровать страницы книги рациональными числами, заключенными между 0 и 1. Но у нее не будет ни первой страницы, ни последней.
Что хотел сказать Борхес, когда написал, что мы находимся в одной из точек бесконечного пространства и времени? Возможно, что мы не можем увидеть его концов или пределов. Если бы пространство и
То, что Борхес четко представлял себе бесконечность и ее связь с различными измерениями пространства, становится очевидным уже в начале рассказа: «Линия состоит из множества точек, плоскость — из бесконечного множества линий; книга — из бесконечного множества плоскостей; сверхкнига — из бесконечного множества книг…» [4]
4
Перевод В. С. Кулагиной-Ярцевой. — Примеч. ред
* * *
ХОРХЕ ЛУИС БОРХЕС (1899–1986)
Хорхе Луис Борхес — один из самых выдающихся писателей XX века. Его произведения сложно привязать к какому-то конкретному жанру: их в равной степени можно отнести к рассказам, эссе, поэзии и фантастике. Фантазия Борхеса не лишена логики. В его рассказах содержатся прекрасные и доступные описания научных и математических идей, понятные широкой публике. К подобным произведениям относятся «Вавилонская библиотека», «Фунес памятливый», «Аналитический язык Джона Уилкинса» и «Сад расходящихся тропок». Некоторые считают, что в последней Борхес предвосхитил некоторые открытия квантовой механики.
На реверсе аргентинской монеты достоинством в 2 песо, выпущенной в 1999 году в честь столетия со дня рождения Хорхе Луиса Борхеса, изображен лабиринт, упоминаемый во многих произведениях писателя.
* * *
В еще одном его произведении главную роль играют не числа, а измерения.
«Диск» — это короткий рассказ, в котором алчный дровосек убивает зашедшего к нему путника, после чего много лет ищет оброненный его жертвой магический диск — диск Одина, у которого всего одна сторона:
«— Я иду путями изгнанника, но я король, ибо у меня есть диск. Показать тебе его?
Он разжал костлявый кулак. В нем ничего не было. Ладонь была пуста.
Только сейчас я вспомнил, что до этого он не разжимал его ни разу.
Пристально глядя на меня, он сказал:
— Можешь коснуться.
С некоторой опаской я дотронулся кончиками пальцев до его ладони.
Я почувствовал холод и увидел, как что-то сверкнуло. В то же мгновение его пальцы сомкнулись. Я ждал. Незнакомец продолжал, как если бы он говорил с ребенком:
— Это диск Одина. У него есть только обратная сторона. Подобного ему нет на всей земле. Пока я владею им, я король.
— Он из золота? — спросил я.
— Не знаю. Это диск Одина. И у него одна-единственная сторона» [5] .
У трехмерного диска три стороны. Две из них имеют форму круга, третья — это полоса, их соединяющая, которую мы можем развернуть в виде прямоугольника.
Двумерные предметы не имеют толщины. Математическое творение Борхеса состоит в том, что он доказал, что у диска Одина нет толщины, так как у него нет одной из боковых сторон. Дровосек никак не может найти диск, потому что он, скорее всего, упал невидимой гранью вверх.
5
Перевод В. Е. Багно. — Примеч. ред.