Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума

Альберти Микель

Визуальное и реальное деление предмета на три части совпадают, только когда мы рассматриваем дугу окружности, находясь в ее центре. Как же лесничий решит задачу? Как визуально определить треть предмета, на который он смотрит?

Чаще всего точная высота дерева нам неизвестна. Если А₁ — угол зрения, под которым можно увидеть все дерево, а — уровень глаз, d — расстояние до основания дерева, то угол А₃ определяющий нижнюю треть дерева, вычисляется по формуле:

В

чем заключается суть вопроса? В том, что видимая величина угла меняется в зависимости от точки, из которой мы смотрим на него. Видимая середина отрезка будет соответствовать его истинной середине только в том случае, если мы будем находиться на серединном перпендикуляре к этому отрезку:

При делении отрезка на три части подобная ситуация невозможна. Если бы она была возможна, то существовала бы точка X плоскости, такая, что при взгляде из нее трети Р₁Р₂, Р₂Р₃ и P₃P₄ отрезка Р₁Р₄ были бы видны под одним и тем же углом (см. рисунок ниже). Следовательно, так как из точки X можно было бы увидеть под одним и тем же углом две половины P₁P₃  точка X должна была бы располагаться на серединном перпендикуляре к отрезку P₁P₃ (то есть на прямой, проходящей через Р₂ и перпендикулярной P₁P₃). Это же было бы справедливо для серединного перпендикуляра к отрезку Р₂Р₄ (прямой, проходящей через Р₃ и перпендикулярной Р₂Р₄). Таким образом, точка X должна была бы располагаться одновременно на двух серединных перпендикулярах, которые параллельны между собой, так как они перпендикулярны одному и тому же отрезку P₁P₄, что невозможно:

За исключением случая, когда мы смотрим на дугу окружности, находясь в ее центре, треть того, что мы видим, — вовсе не треть того, на что мы смотрим.

Предупреждение для бухгалтера: округленная сумма значений не равна сумме округленных значений

Округление чисел выполняется по следующим правилам: если последний знак десятичной записи числа меньше 5, этот знак заменяется на 0, если же последний знак больше 5, то предыдущий знак увеличивается на единицу:

2,34 ~= 2,3;

2,37 ~= 2,4.

Ошибки округления в одну десятую, сотую или тысячную при работе с большими числами могут быть значительными. Если ошибка в одну сотую евро повторится на 300 миллионах счетов, общее расхождение составит 3 миллиона евро. В бухгалтерском учете подобное недопустимо. При составлении балансов даже сотые доли евро могут повлиять на итоговое значение округленной величины:

Имеем теорему:

Округленная сумма значений не равна сумме округленных значений.

Это утверждение можно подтвердить с помощью следующих таблиц:

Обратите

внимание, с какой частотой в таблицах фигурируют числа 0, 1 и 2:

Почему мы не можем определить операцию округления так, чтобы 0, 1 и 2 распределялись более равномерно? Например, так, чтобы каждое из этих чисел фигурировало в таблице примерно в 33,3 % случаев. Эта ситуация представлена ниже: 0, 1 и 2 в таблице встречаются 33, 34 и 33 раза соответственно:

Расставляем продукты в холодильнике

Расположение продуктов в европейских холодильниках можно оптимизировать благодаря стандарту упаковок Gastronorm EN 631. Все упаковки, разработанные в соответствии с этим стандартом, имеют прямоугольную форму и обозначаются числовым кодом, указывающим соотношение размеров упаковки. Перечень кодов представлен ниже:

2/1 2/3 2/4 2/8 и 1/1 1/2 1/3 1/4 1/6 1/9.

Базовая упаковка обозначается кодом 1/1 и имеет размеры 530 х 265 мм.

Остальные упаковки получаются из базовой так, как показано на иллюстрации.

Таким образом, обозначение каждой упаковки выражает отношение ее размера и размера базовой упаковки 1/1:

2/1 = удвоенная упаковка 1/1;

2/4 = четверть 2/1 = половина 1/1;

2/8 = восьмая часть 2/1 = четверть 1/1;

2/3 = две трети 1/1;

1/2 = половина 1/1;

1/3 = треть 1/1;

1/4 = четверть 1/1;

1/6 = половина 1/3;

1/9 = треть 1/3.

Все эти равенства верны с точки зрения математики:

Следовательно, коды стандарта Gastronorm, по сути, представляют собой дроби, четко указывающие соотношение размеров упаковок. Чтобы узнать, скольким упаковкам формата 1/6 равна упаковка формата 2/3, достаточно выполнить деление:

Система Gastronorm подобна игре в тетрис и позволяет заранее рассчитать оптимальное расположение упаковок, например, на полке холодильника, при этом упаковки будут располагаться рядом друг с другом, подобно элементам головоломки.

Бесконечная книга и двумерный диск

Многие писатели прошлого и современности очень четко передают математические идеи, объясняют их и сопровождают примерами, что помогает лучше усвоить многие понятия и взглянуть на них по-новому. Чтобы проиллюстрировать это, обратим внимание на два рассказа: один из них принадлежит перу Хорхе Луиса Борхеса, второй — Итало Кальвино.

Большая часть творчества Борхеса посвящена парадоксальным ситуациям и объектам, которые тем не менее настолько логичны, что кажутся реальными: это пустыня, подобная лабиринту, где нет ни дверей, ни проходов, здание библиотеки невероятно сложной планировки и т. д. Описания подобных объектов в произведениях Борхеса содержат отсылки к математическим идеям.

В «Книге песка» этот аргентинский писатель говорит о книге с бесконечным числом страниц, при этом нельзя определить, какая из страниц книги первая, какая — последняя. Можно сказать, что бесконечность, описываемая Борхесом, является потенциальной и счетной, так как все страницы книги пронумерованы натуральными числами. Страниц в книге так много, что ее невозможно открыть еще раз на только что прочитанной странице, — именно так писатель проводит различие между конечным и бесконечным:

«Я наугад раскрыл книгу… Я обратил внимание, что на четной странице стояло число, скажем, 40514, а на следующей, нечетной, — 999. Я перевернул ее — число было восьмизначным. На этой странице была маленькая, как в словарях, картинка: якорь, нарисованный пером, словно неловкой детской рукою.