Венский кружок. Возникновение неопозитивизма.

Крафт Виктор

2. Синтаксический анализ

а) Синтаксис и логика

Другую сторону языка в отличие от его функции обозначения образует его формальное строение, структура системы представления. Здесь основополагающую работу проделал Карнап⁹⁷. В своем произведении «Логический синтаксис языка» (1934) он дает его систематическое описание. При этом он опирается не просто на внешнюю структуру языка, но учитывает также его связь с логикой. На связь языка и логики впервые указал Витгенштейн⁹⁸. Правила логики оказываются правилами языка и лежат в основе построения любых знаковых систем. Структура языка и его связь с логикой наиболее отчетливо проявляются в том случае, когда язык и логика рассматриваются в формализованном виде. Освобождаясь от конкретного смысла, от средневековых представлений о количестве и качестве суждений, о понятиях субъекта, предиката и связки, логика в конце концов пришла к системе «Principia Mathematica». Точно так же можно формализовать язык, если отвлечься от его значений и рассматривать только

общие формы. Формальное рассмотрение языка было предпринято Гильбертом в его «Метаматематике» и польскими логистиками (Айдукевичем, Тарским, Лукасевичем, Лесьневским) в их «Металогике». Именно они через посредство Тарского дали импульс к работе Карнапа.

С формальной точки зрения знаки рассматриваются как простые написанные или произнесенные символы, предложения оказываются лишь последовательностями знаков, формулами, а выводы одних предложений из других — как преобразование одних последовательностей знаков в другие. Язык предстает в виде чистого исчисления. Он становится игрой со значками согласно установленным правилам. Смысл и ценность такой формализации заключается в том, что выделяются в чистом виде какие-то стороны языка, которые можно ясно и точно сформулировать. При этом отвлекаются от конкретного смысла предложений и сохраняют только наиболее общие связи. Структуру символических систем Карнап называет «синтаксисом», хотя в филологическом смысле слово «синтаксис» означает только правила соединения знаков. Для формализованных систем более подходящим было бы слово «грамматика» как обозначение структуры символических систем. Но поскольку в формализованных системах языка синтаксические правила соединения знаков оказываются наиболее важными, внимание обращают прежде всего на синтаксис — на правила построения и преобразования.

При этом речь идет не о синтаксисе некоторого эмпирически данного языка, не о «дескриптивном» синтаксисе, а о «чистом» синтаксисе, т. е. о «структуре возможного упорядочения любых элементов»⁹⁹. Для его ясного представления нельзя опираться на анализ синтаксиса разговорного языка, ибо это было бы слишком сложно. Поэтому сначала Карнап строит две очень простые модели языка, синтаксис которых легко описать. В этих языках предметы обозначаются не с помощью слов, а посредством чисел, как дома обозначются номерами, а не именами собственными или координатами¹⁰⁰. Свойства и отношения, предикаты, приписываемые этим предметам, также можно определить с помощью чисел, знаки которых предназначены для видов свойств или отношений, так называемых, «функторов». (Например, «te(3) = 5» означает: температура в пункте 3 равна 5; «te diff(3,4) = 2» означает: разница температур в пунктах 3 и 4 равна 2. Функторы подразделяются на дескриптивные, подобные приведенным выше, и логи ко-математические, например «.ш/я(3,4)» есть 3 + 4.)

Первый из двух формализованных языков содержит 11 отдел-ных знаков: прежде всего логические основные знаки, затем переменные для чисел (х, у...) и числовые константы (0, 1, 2...), далее предикаты (обозначаемые большими буквами или несколькими буквами с большой начальной буквой) и функторы (обозначаемые наборами нескольких маленьких букв). «Выражение», упорядоченная (конечная) последовательность таких знаков определяется своей синтаксической формой — видом знаков и их порядком. Общие и экзистенциальные предложения обычного языка выражаются с помощью операторов, принятых в логистике. В первый из двух языков входят только ограниченные операторы, т. е. общие и экзистенциальные выражения относятся к некоторой ограниченной области. Неограниченная общность, относящаяся к знакам, выражается с помощью переменных. Например, «sum(x,y) = sum(y,x)» означает: для любых двух чисел сумма первого и второго всегда равна сумме второго и первого. Наконец, добавляется еще оператор обозначения, который в обоих языках служит специально для однозначного обозначения чисел и отношений между числами. Все эти установления, касающиеся знаков и их связей, задают элементы и формы данного языка.

Кроме того, нужно еще определить преобразования, которые устанавливают, когда одно предложение выводимо из другого. Правила преобразования состоят из аксиом (собственно из схем аксиом, так как в этом языке нет требуемых переменных для «предложения», «предиката» и «функтора») и правил вывода. В качестве аксиом используется логистическая запись правил для исчисления предложений, для операторов, для знака равенства и для основных свойств числового ряда. Посредством правил вывода определяется понятие «непосредственно следует», которое несколько уже, чем понятие «следует». Только современная логика сделала ясным это различие¹⁰¹. Преимущество упрощенных моделей языка состоит в том, что они существенно облегчают определение непосредственной выводимости и следования. Предложение непосредственно выводимо, если оно получено из другого предложения с помощью подстановки (здесь — числа вместо переменной) или путем изменения связки (например, импликация заменяется на «не... или...»), если оно имплицируется другим предложением или если оно получено на основе принципа математической индукции (поскольку здесь речь идет о числовых выражениях).

Непосредственные выводы лежат в основе всех других выводов. Вывод представляет собой конечную последовательность предложений, в которой каждое предложение является посылкой, определением или непосредственно выведено из одного из предшествующих предложений. Опираясь на определение «выводимости», можно определить основные логико-синтаксические понятия: «доказуемо», «опровержимо», «неразрешимо». В рассматриваемом языке эти понятия относятся только к конечному множеству посылок. Поэтому они являются более узкими, чем обычные логические понятия «следует», «аналитический», «противоречивый»¹⁰². Последние могут относиться к классам предложений, которые не исчерпываются конечными последовательностями. Классы предложений являются синтаксическими формами выражений. В то время как вывод всегда является конечной последовательностью предложений, следование может быть конечным рядом бесконечных классов предложений. Карнап

впервые дал строгую формулировку определению следования на основе понятия выводимости и с помощью классов предложений¹⁰³. Затем, опираясь на определение следования, можно определить важные понятия «аналитический», «синтетический», «противоречивый», «совместимый» и «несовместимый». Только в XX столетии — сначала Вейль¹⁰⁴, а затем Витгенштейн¹⁰⁵ — осознали, что независимо от смысла предложения и только с помощью его логической структуры можно установить, является ли оно аналитическим или противоречивым. Поэтому относительно всех логических предложений уже по одной их символической форме можно установить, истинны они или нет. Если заданы соответствующие синтаксические определения, то с помощью понятия следования можно чисто формально определить логическое содержание предложения, не обращаясь к его значению. Оно представляет собой класс неаналитических следствий этого предложения. Таким образом, то, что при содержательном истолковании подразумевается под смыслом предложения, здесь характеризуется формальным способом. Этим же способом можно представить также содержание отношений (например, содержание равенства).

Построенную таким образом знаковую систему Карнап называет «конечным» языком, ибо она содержит только ограниченные операторы общности и существования. (Она приблизительно соответствует арифметике натуральных чисел с ограничениями математического интуиционизма.)

Вторая знаковая система, построенная Карнапом, является «бесконечным» языком. (Она включает в себя те же знаки, что и первая, но, кроме того, содержит еще неограниченные операторы.)

Она богаче первой, поскольку включает в себя новые виды функторов, предикатов и переменных. Вследствие этого выражения должны быть распределены по логическим типам и ступеням. Посредством правил образования определяются различные виды выражений этого языка, аналогичные выражениям первого языка. Правила преобразования большей частью аналогичны правилам первого языка. Система аксиом дополняется в соответствии с более богатым набором знаков второго языка новыми аксиомами для неограниченных операторов, обобщенным принципом выбора Цермело и двумя аксиомами экстенсиональности. Посредством двух правил вывода — правила импликации и правила оператора общности — определяется, когда некоторое предложение непосредственно выводимо из другого предложения: если оно имплицируется этим другим предложением или получается из другого посредством добавления оператора общности. По причине большего богатства выражений этого языка определение следования оказывается гораздо более громоздким, чем в первом языке, поэтому Карнап дает лишь метод определения, а не само определение. Здесь, напротив, сначала определяются понятия «аналитический» и «противоречивый», а затем с их помощью — понятия «следование», «синтетический», «совместимый», «несовместимый». После этого можно доказать, что каждое логическое предложение является либо аналитическим, либо противоречивым. В таком языке можно выразить всю классическую математику и физику.

На основе такого расширения можно решить первоначальную задачу — дать общее описание синтаксиса любого языка. Не существует одиого-единственного языка, о котором говорил Витгенштейн, но имеется много различных языков, что показано при построении двух упомянутых выше языков. Общий синтаксис подразумевает систему определений синтаксических понятий, применимых ко всем языкам. Как отметил сам Карнап (IV, S. 120), его система представляет собой лишь набросок, первую попытку рассмотреть ту область, в которой до сих пор сделано очень мало¹⁰⁶.

Для описания синтаксиса необходимы неопределенные понятия. «Неопределенным» является такой языковой знак, в определение которого входит неограниченный оператор. Основные понятия преобразований: «выводимо», «доказуемо», «аналитический», «противоречивый», «синтетический» являются определенными только в очень простых системах, в других системах они будут неопределенными. Понятия «следование» и «содержание» всегда являются неопределенными. Однако допустимость неопределенных понятий вызывает споры. Свойство, выражаемое определенным логическим предикатом первого порядка, всегда разрешимо относительно его наличия или отсутствия. Напротив, для неопределенного предиката нет никакой общей разрешающей процедуры. Поэтому Пуанкаре, Брауэр, Витгенштейн считали неопределенные понятия бессмысленными и недопустимыми. Однако Карнап показал, что они осмысленны и допустимы.

Неопределенные понятия считаются бессмысленными только потому, что смысл понятия определяют посредством метода, позволяющего установить, имеется оно или нет. У нас нет такой общей разрешающей процедуры для неопределенных понятий, поэтому мы считаем их бессмысленными. Однако нам хорошо известно, при каких условиях было бы достигнуто решение о наличии свойства, выраженного неопределенным понятием. Это произойдет в том случае, когда мы найдем доказательство наличия или отсутствия этого свойства. Можно с определенностью установить, является ли некоторая последовательность таким доказательством или нет. Поэтому неопределенные понятия осмысленны, ибо известно, когда их можно применять. Тогда их использование также можно не оспаривать, если принять ограничивающее требование относительно того, что в каждом отдельном случае должен быть разрешим вопрос о том, присутствует ли свойство, выражаемое неограниченным понятием, или нет. Для того чтобы доказать предложение с неограниченным оператором, общее предложение, вовсе не обязательно доказывать все конкретные предложения, полученные из него подстановкой констант, да это и невозможно сделать вследствие бесконечности их количества. Если бы это было действительно необходимо, то тогда, конечно, все общие предложения пришлось бы признать неразрешимыми и бессмысленными. Однако можно дать обоснование самого общего предложения с помощью отдельного доказательства. Доказательство является конечной операцией, поэтому доказуемы также и предложения с неограниченными операторами. Таким образом, «для неопределенных понятий также... в отдельных случаях существует возможность установить их наличие или отсутствие, даже если у нас нет общей разрешающей процедуры» (S. 116, 117). Поэтому нет необходимости исключать неопределенные понятия.