Вся физика в 15 уравнениях

Мансулье Бруно

Может быть. Но давайте подытожим эти честолюбивые умозаключения: благодаря наблюдениям и их интерпретации в рамках общей теории относительности Вселенная теперь имеет возраст (13,8 млрд лет), форму (однородно плоская, без кривизны), плотность (10^{– 26} кг/м³, что соответствует примерно 6 атомам водорода на кубический метр, легко запоминающееся число!). Модель Большого взрыва позволяет описать эволюцию ранней Вселенной, начиная с нескольких наносекунд после ее рождения и до сегодняшнего дня.

Вселенная как измеримый объект все еще является чистым листом для различных видов творчества. Согласно некоторым теоретическим моделям, Вселенная может

быть скручена или замкнута сама на себя; некоторые ее конфигурации таковы, что ни один автор научной фантастики не осмелился бы предложить такое! Однако все эти модели вступают в противоречие с наблюдениями, и кажется весьма вероятным, что наша Вселенная настолько простая и плоская, насколько это возможно.

И это все? Бесконечная плоская Вселенная, постепенно становящаяся все более разреженной и холодной? Некоторые ученые несколько разочарованы. Правда, вместо разочарований и сетований мы должны быть счастливы, что нам «повезло» жить в эпоху, когда силы, управляющие динамикой Вселенной, гармонично уравновешивают друг друга и когда она все еще содержит достаточно места и материи, чтобы разместить удобную галактику, в пригороде которой мы живем, на безопасном удалении от чудовищной центральной черной дыры…

Глава 13

Уравнение Дирака

(iY^d^ — m)ф = 0

Это уравнение все еще волнует меня, как ребенок… Самый красивый, самый чистый из всех. Более красивый, чем E = mc², и не забрызганный кровью истории.

Даже если кто-то не любит математику или у кого-то ровные линии и рациональные пропорции вызывают некоторое неприятие, изящество символической записи этого уравнения не может не восхищать: гармоничная округлость ?, обходительное д, резкое i, деликатные индексы ?, записанные как апподжатуры^[50], и окутанное глубокой тайной ?.

Признаюсь, данное уравнение немного конфиденциальное, поскольку изучается лишь на последних курсах университета, требуя хорошей подготовки в области физики и математики, а именно теории относительности и квантовой механики.

И Дирак создал антиматерию

Как мы узнаем позже, Поль Дирак смог разглядеть в своем уравнении гораздо больше того, для чего оно изначально было создано: он открыл антиматерию, совершив опять же концептуальную и практическую революцию. В этом смысле уравнение Дирака является прекрасным примером власти разума над материей — любому фанату буддизма следует пройти пятилетний университетский курс, чтобы понять его суть.

В 1928 г. квантовая механика и теория относительности уже базировались на хорошем теоретическом и математическом фундаменте. Но все попытки примирить или соединить их в единое целое оказывались неловкими и бесплодными. Для описания квантовой частицы при релятивистских скоростях^[51] существовало уравнение Клейна-Гордона:

Однако оно так и осталось чисто теоретическим упражнением, поскольку оказалось неприменимым к каким-либо известным частицам вроде электронов или протонов, составляющих атомы. В любом

случае вы согласитесь со мной, что с графической точки зрения это уравнение — явная неудача, особенно с его неуклюжими дробями, значком ? и полноватой ф.

Причина, по которой оно неправильно описывает электрон, связана в том числе с наличием у этой частицы дополнительного свойства, называемого спином. Само это слово^[52]дает повод для использования наглядного представления о спине как о моменте импульса некоего волчка. На самом деле спин — это чисто квантовая характеристика, которая не требует наличия твердого вращающегося тела: элементарная частица, которая по определению является точечной, может иметь спин, что, в частности, относится и к электрону.

Именно спин влияет на то, как частица взаимодействует с магнитным полем: можно определить спин электрона, определив изменение характера его движения в магнитном поле определенной конфигурации. В эксперименте при измерении всегда возвращается одно из двух значений (а не непрерывное множество значений!), которые обычно связаны с двумя спиновыми состояниями электрона, обозначаемыми стрелочками вверх (?) или вниз (?).

В далеком 1928 г. (когда это открытие сделал Поль Дирак) спин был уже хорошо известен в течение нескольких лет и получил удовлетворительное квантово-механическое описание. Однако уравнение Клейна-Гордона игнорировало это понятие: всем казалось невозможным описать электрон как квантовый и релятивистский одновременно, хотя обе эти теории уже произвели революцию в физике!

Уравнение должно делать свое дело

Благодаря своему гениальному озарению Дирак понял, что уравнение Клейна-Гордона, возможно, слишком незатейливое и непременно где-то скрывает в себе этот коварный спин.

Он предположил, что оператор

может быть разложен на два множителя в виде (D)х(D), где каждый из множителей (D) будет зависеть от спина, а их произведение — нет.

Простая аналогия: возьмите число 4. Я мог бы получить его, взяв квадрат числа 2: 4 = (2) х (2). Но я мог бы также взять квадрат числа -2: 4 = (-2) х (-2). При возведении в квадрат я потерял информацию о знаке между +2 и -2. Точно так же уравнение Клейна-Гордона потеряло информацию о направлении спина.

Дирак понял, что он действительно может выполнить разложение оператора и записать такой множитель (D), если он рассмотрит компоненты электрона с положительным (?) и отрицательным (?) спином по отдельности, но для этого необходимо гармонично объединить их с помощью коэффициентов ?^?, которые вы видите в его уравнении. Попутно он обнаружил забавные математические свойства данных коэффициентов, для которых A х B не равно B х A…

Нет, этим рассказом я не пытался полностью объяснить происхождение уравнения Дирака. Я его привел лишь для того, чтобы дать вам почувствовать, что само создание уравнения оказалось возможным благодаря глубокой культуре, острому воображению и неограниченной свободе мышления.

Творение Дирака описывает электрон и допускает немедленное использование, например для точного расчета энергетических уровней в атомах, в полном согласии с измерениями^[53].

Полностью физическое решение