Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
,
(11.1.4)
(в этих обозначениях мы следуем Шварцшильду). Метрический тензор является диагональным, и если мы выберем обозначения индексов (1,2,3,4) для координат (r,,,t), то компоненты метрического тензора являются следующими:
g
=
e
,
g
=-
e
,
g
=-
r^2
,
g
=-
r^2
sin^2
.
(11.1.5)
Поскольку
g
=
e
–
,
g^1^1
=-
e
–
,
g^2^2
=-
1
r^2
,
g^3^3
=-
1
r^2sin^2
.
(11.1.6)
Теперь может быть проведено вычисление элементов тензора кривизны. Эти вычисления напрямую приводят к цели, однако они скучны и утомительны, поскольку в символах Кристоффеля имеется достаточно много производных и должно быть вычислено довольно много сумм.
Когда всё это проделано, то компоненты тензора кривизны могут быть вычислены через функции и и их производные по отношению ко времени t и радиальной координате r. Для того, чтобы запись была более экономной, мы используем штрихи и точки для обозначения производных следующим образом:
'
=
r
,
=
t
,
и т.д.
(11.1.7)
Точные выражения для тензора Римана являются следующими:
R^2
=-
e
–
1
2
''
+
1
4
^2
–
1
4
''
+
e
–
1
2
+
1
4
^2
–
1
4
R^2
=
R^3
=-
1
2r
'e
–
R^2^1
=
R^3^1
=
1
2r
'e
–
R^3^2
=-
1
r^2
e
–
–
1
R^2
=
R^3
=-
1
2r
e
–
(11.1.8)
Все остальные компоненты равны нулю, за исключением тех, которые могут быть получены тривиальной перестановкой индексов некоторого элемента в соотношениях (11.1.8).
11.2. О связи между материей и кривизной
Именно тензоры, которые выводятся из тензора кривизны, связаны с тензором энергии-импульса. Комбинации, включающие в себя тензор кривизны и необходимые нам в дальнейшем, есть следующие
G
=
R
–
1
2
g
R
.
(11.2.1)
Компоненты
G
=
R^1^2
+
R^1^3
+
R^2^3
,
G^1
=
R^2
+
R^3
+
R^3^2
.
(11.2.2)
Другими словами, каждый из этих компонентов включает в себя сумму по таким элементам R, в индексы которых не включён диагональный индекс. Для недиагональных элементов мы также получаем очень простые выражения. Например,
G
=
R^2
+
R^3
,
G^2
=
R^3^2
+
R^2
,
(11.2.3)
и по аналогии с этими компонентами мы можем легко записать соответствующие выражения для других компонентов.
Простота выражений рассмотренных сумм может навести нас на мысль об интерпретации кривизны через характеристики распределения вещества. Мы ранее обсудили кривизну двумерной поверхности через относительное изменение длины окружности или площади круга по отношению к их величинам в плоском пространстве через измеренную величину их радиуса:
Длина окружности
=
2r
(1-
Kx
площадь)
(11.2.4)
где K - коэффициент. Для трёхмерного мира изменение длины окружностей зависит от плоскости, на которой рисуются круги, о которых идёт речь, но можно определить среднюю кривизну посредством измерения отличия от 4r^2 площади сферы радиуса r. Получаемый результат должен быть следующим
площадь
=
4r^2
1
+
1
9
r^2R
,
(11.2.5)
где R - скаляр, получаемый двойной свёрткой тензора кривизны.
Связь этой идеи с теорией гравитации может быть получена, если мы попытаемся придать концептуальное значение сумме R^1^2+R^2^3+R^1^3, что есть компонент тензора G, который равен компоненту 44 тензора энергии-импульса.
Эта сумма есть в точности то, что мы должны называть средней кривизной трёхмерного пространства, которое перпендикулярно оси времени. Таким образом, мы можем дать словесную интерпретацию теории гравитации следующим образом: рассмотрим небольшую трёхмерную сферу с заданной площадью поверхности. Её действительный радиус превышает радиус, вычисляемый в евклидовой геометрии (площадь/4), на величину, которая пропорциональна количеству вещества внутри этой сферы (r-площадь/4=G/3c^2mвнутри) (один ферми на 4 миллиарда метрических тонн).