Фейнмановские лекции по гравитации

Фейнман Ричард Филлипс

dx

T

_,

=

1

2

dx

g

_,

T

.

(10.2.8)

Если тензорная плотность T равна нулю всюду, за исключением нитеобразной области, вклад в поверхностный интеграл равен нулю за исключением тех мест, где нить пересекает поверхность, и которые соответствуют импульсу частицы ”до” и ”после”, если эти поверхности берутся в постоянный момент времени. Преобразуя этот результат к дифференциальной форме, в конце концов получаем результат, заключающийся в том, что движение следует уравнению геодезических:

d^2z

ds^2

+

dz

ds

dz

ds

=

0.

(10.2.9)

Возможность

такого вывода приводит к утверждению, что уравнения Эйнштейна одновременно определяют движение материи и гравитационных полей. Это утверждение вводит в заблуждение и совершенно не выглядит так замечательно, как это может показаться с первого взгляда. Давайте вспомним, что если у нас есть свободная частица, движущаяся сама по себе вдали от каких-либо других тел, тогда законы сохранения энергии и количества движения определяют полностью её движение. В теории гравитации свободно падающая частица становится эквивалентной свободной частице, так что вновь наличие закона сохранения энергии оказывается достаточным для того, чтобы полностью определить движение. Но обычная физическая ситуация не является настолько простой, как описанная выше. Когда мы имеем нечто большее, чем только гравитация и частица, уравнения движения не следуют только из законов сохранения энергии и импульса. В электродинамике сохранение заряда должно содержаться в каждом решении уравнений Максвелла, так что можно сказать, что этот закон сохранения есть следствие уравнений Максвелла. Но это условие не даёт всего необходимого для того, чтобы построить уравнения движения для зарядов, полей, которые они задают, и сил, с которыми эти заряды действуют друг на друга. Подобно этому в теории гравитации имеет место сохранение энергии и количества движения, но этого не достаточно, чтобы определить движение планет и Луны для случая, когда эти объекты не являются точками, и законы физики, отличные от закона сохранения энергии, требуются для того, чтобы уяснить их поведение в гравитационном поле.

10.3. Действие для материальных полей в гравитационном поле

Следующее, что мы рассмотрим - подготовим переход к квантовой теории. Если скалярные частицы описываются скалярным полем , тогда соответствующий вклад в действие есть

S

_m

=

1

2

dx

(

_,

^,

–

m^2^2

).

(10.3.1)

Легко может быть сделано обобщение на случай криволинейных координат; мы предполагаем, что

S

_m

=

1

2

dx

– g

(

g

_,

_,

–

m^2^2

).

(10.3.2)

Это выражение является очевидным образом инвариантным при произвольных координатных преобразованиях, это есть одно из налагаемых на него требований, и приводится к соответствующему выражению для плоского пространства. Тем не менее, мы можем выписать другие выражения, которые являются идеально правильными инвариантами, квадратичными по полям , и которые включают в себя тензор кривизны. Все эти выражения обращаются в нуль в том случае, когда пространство становится плоским. Возможно, что действие должно содержать пропорции и соответствующих членов, например,

–

dx

– g

R^2

+

dx

– g

(

R

_,

_,

).

(10.3.3)

Мы видим, что действие, которое мы записываем, не является единственным. Первое слагаемое, которое мы записали, должно здесь присутствовать, так как только оно и приводит к правильному результату для плоского пространства. И нет экспериментального свидетельства о приливных силах и т.д. и т.п., что могло бы быть причиной для включения или невключения других слагаемых, таких как в выражении (10.3.3). Единственная разумная вещь, которую мог бы сделать физик теперь, состоит в том, чтобы выбрать некоторые слагаемые, которые являются ”проще”, чем другие слагаемые, пренебречь более сложными членами в действии и посмотреть, какого рода теорию он получил в результате. В некотором смысле возможно производные есть более сложные объекты, чем просто поля, поэтому член с множителем является более сложным, поскольку он содержит четыре производных, две в полях и две в тензоре R.

Слагаемое с множителем содержит только две производных, тем не менее обе производных по полю g. Однако трудно определить усложнение теории, которое было бы сделано недвусмысленным образом; всегда возможно провести интегрирование по частям, так что производные исчезают в одном месте и вновь появляются в другом - простота, которая очевидна в случае, если начать формулировать теорию с одной исходной точки, может не соответствовать простоте, которая получилась бы, если теорию формулировали бы, исходя из другой начальной точки. Если нами используется построение квантовой механики, исходя из уравнения Шрёдингера, то простейшее действие, по-видимому, должно быть таким, которое соответствует =0. Но так как мы начали формулировать квантовую механику, задаваемую через интегралы по траекториям, то простейшее действие кажется должно быть таким, которое соответствует =1/6. Каждая из возможностей выбора значения а кажется наипростейшей с соответствующей точки зрения. Я не знаю никакого удовлетворительного способа определить величину и считаю, что определение действия для скалярного поля является неоднозначным.¹

¹ Современное рассмотрение этой проблемы, включающее в себя обсуждение проблемы спектра атома водорода см. в [Klei 89].

Значение члена, такого как член со множителем в соотношении (10.3.3), состоит в том, что он характеризует то, должны ли мы иметь дело с частицей, которая может чувствовать гравитационное поле вне области, достаточно большой по сравнению с той, которая характеризуется локальной кривизной. Если частица имеет структуру, которая в некотором смысле инфинитезимально мала, тогда она не может чувствовать кривизну. Но если, что скорее всего, частица, двигаясь, совершает движение типа штопора в окрестности своего положения, то член, включающий в себя локальную кривизну, может быть очень хорошо представлен.

Мы приведём пример, рассматривая ситуацию в электродинамике, как иное исходное положение приводит к иному ответу достаточно безобидным путём. Здесь принцип минимального электромагнитного взаимодействия приводит к замене

x

– >

x

–

ie

A

(10.3.4)

в лагранжиане. Предположим теперь, что перед тем, как мы сделали такую замену, мы записали интеграл от лагранжиана следующим образом:

S

=

dV

x

–

dV

m

+

+

dV

(

–

)

x

x

.

(10.3.5)

Последнее слагаемое не записывается при обычном изложении теории, поскольку оно тождественно равно нулю, причём потому, что оно в точности равно нулю, не может быть никакого твёрдого и надёжного правила относительно того, как отбросить этот член. Тем не менее, когда мы делаем замену градиента в соответствии с соотношением (10.3.4) для того, чтобы включить электромагнетизм, результирующий лагранжиан оказывается не тем же, каким он был до преобразования; лагранжиан имеет дополнительное слагаемое,

F

.

(10.3.6)

где F=A_,– A_, Этот член есть член аномального момента, открытого Паули. (Впервые это было сообщено мне Вентцелем.)

Электродинамика частиц спина 1 усложняется также аномальными квадрупольными моментами. Очевидно, не существует более простого выражения для лагранжиана, который можно записать, так что в теоретических работах должны представляться вычисления с альтернативными теориями, которые соответствуют различным аномальным моментам.

В нашей теории гравитации ситуация аналогична. Это как если бы частица обладала аномальным моментом инерции, добавляемым к обычному моменту инерции, обусловленному распределением массы.

В электромагнетизме подобные неоднозначности не появляются при описании частиц с нулевым спином - они впервые появляются при описании частиц со спином 1/2. С другой стороны, в гравитации трудности возникают даже при обсуждении простейшего случая скалярных частиц. Не существует решения для преодоления таких трудностей - мы должны признать, что множество альтернативных теорий (различных значений ) оказывается возможным.