Фейнмановские лекции по гравитации, Фейнман Ричард Филлипс

Фейнмановские лекции по гравитации

на обложку

Фейнман Ричард Филлипс

Шрифт:

ABCD

dx'

dy'

dz'

dt'

– g

dx'

(10.1.5)

где g'=Det g'. Если мы делаем ортогональные преобразования, то dx=dx' и также определитель Det g равен Det g'. Таким образом, общее выражение для инвариантного элемента объёма есть

– g

(10.1.6)

Величина -g есть скалярная плотность. Это означает, что её изменение при координатном

преобразовании получается умножением на якобиан преобразования

– g'

– g

(10.1.7)

Тензор кривизны появляется тогда, когда мы вычисляем вариацию величины Sg по отношению g

2^2

– g

–

(10.1.8)

Это происходит из-за того, что мы можем использовать интеграл от R как действие гравитационной части полной задачи.

Позвольте мне отметить, что поскольку этот тензор давления появляется при таком подходе из вариационного принципа, его ковариантная дивергенция с необходимостью равна нулю (это утверждение впервые, я считаю, было отмечено Эддингтоном). Мы увидели эту связь с другого направления, заключающегося в том, что мы могли бы вывести вариационный принцип при условии, что мы исходим из тензора с нулевой дивергенцией. Доказательства, которые мы предлагаем, не являются строгими; мы не беспокоимся о строгости, поскольку факты составляют существо дела, а не их доказательства. Физика может развиваться без доказательств, но мы не можем продолжать развивать теорию без фактов. Доказательства полезны в том смысле, что они являются хорошими упражнениями; если факты верны, тогда доказательства являются предметом игры с корректным использованием алгебры.

Мы хотим показать, что если функционал

]

(10.1.8')

есть инвариант при координатных преобразованиях, тогда ковариантная дивергенция вариации Sg по отношению g тождественно равна нулю. Делая инфинитезимальное преобразование и переходя к штрихованным координатам x– >x',

(x')

(10.1.9)

изменение g задаётся соотношением

– >

(x')

(10.1.10)

Выражая

действие в новых координатах, опуская штрихи у переменных, по которым ведётся интегрирование, инвариантное действие выражается в виде

[g'

]

(

(10.1.11)

Когда мы производим интегрирование по частям второго слагаемого в правой части этого выражения, мы преобразуем его к выражению, которое включает в себя функциональные производные функции . Мы кладём его равным нулю, так как мы знаем, что изменение в действии должно быть равно нулю при любом h вследствие вида функции

–

(10.1.12)

Обозначим G вариацию величины 2^2Sg по отношению к g:

2^2

(10.1.13)

Величина G есть контравариантная тензорная плотность второго ранга. Используя это определение, уравнение (10.1.12) можно переписать в виде

–

(10.1.14)

которое эквивалентно утверждению, что ковариантная дивергенция G равна нулю

;

(10.1.15)

Для демонстрации эквивалентности некоторых соотношений, включающих в себя ковариантные производные, удобно использовать некоторые соотношения, которые мы приведём сейчас для того, чтобы в дальнейшем их использовать. Вначале вычислим свёрнутые символы Кристоффеля.

Используя определение, получим

[,]