Фейнмановские лекции по гравитации

Фейнман Ричард Филлипс

Движение частицы в заданном гравитационном поле описывается уравнением, которое получается, когда мы вариируем действие по отношению к полю . В зависимости от того, как мы переходим к квантовой механике, различные варианты действия приводят к простейшим результатам. Таким образом, мы не можем доказать, что что-либо проще, если это не приводит к одновременной простоте при решении множества различных задач. Для различных задач необходимо выбрать различные значения а для того, чтобы упростить решение, или для того, чтобы отказаться от производных. Если положить =0, то тогда мы приходим к ковариантной простоте только в том смысле, что требуется меньше алгебраических вычислений при таком исходном положении. При этом нет какой-либо подразумеваемой физической простоты, так как все значения

приводят к различным степеням сложности или в той, или в другой задаче.

Давайте приступим к получению уравнений движения поля материи . Исходя из соотношения (10.3.2), мы можем использовать следующие вариации обратной матрицы и квадратного корня от детерминанта:

g

=-

g

g

g

,

(

– g

)

=

1

2

– g

g

g

,

(10.3.7)

для того, чтобы получить следующее выражение для T:

T

=

– 2

S_m

g

=

– g

^;

^;

–

1

2

– g

g

(

_;

^;

–

m^2^2

)-

–

– g

R

–

1

2

g

R

^2

–

4

_;

– g

R

g_,

.

(10.3.8)

Далее мы вычисляем вариацию по отношению к полю и кладём вариацию равной нулю для того, чтобы получить нечто, что является аналогичным уравнению Клейна - Гордона

– g

g

_,

+

– g

m^2

+

2R

– g

=

0.

(10.3.9)

Получим уравнение, в котором тензоры появляются путём деления на скалярную плотность -g

1

– g

– g

g

_,

+

m^2

+

2R

=

0.

(10.3.10)

Используя соотношения (10.1.20) и (10.1.21), мы видим, что последнее уравнение может быть переписано в виде

_;

+

(

m^2

+

2R

)

=

0.

(10.3.11)

Связь с уравнением Клейна - Гордона может быть замечена при рассмотрении случая =0; обычный даламбертиан просто заменён на его ковариантный аналог, ковариантный даламбертиан.

Предшествующие шаги дали нам вполне определённую теорию, поскольку мы точно определили, как движется материя и какой есть тензор источника. Легко проверить, что для тензора, который мы выписали, ковариантная дивергенция T_; равна нулю, трюк здесь состоит в том, чтобы использовать каждый раз, когда это необходимо, сами полевые уравнения. Таким образом, ход рассуждений оказывается последовательным, все соответствующие тензоры являются бездивергентными,

и это оказывается достаточно существенным, чтобы в рассуждениях исходить из этого. Для того, чтобы построить более полную теорию, мы добавляем дополнительные члены к действию так, чтобы представить другие известные поля. Мы записали сначала действие в плоском пространстве, так как мы знаем это; исходя из некоторого вида критерия, мы выберем наипростейшую форму для действия, которое есть инвариант. Требование, что действие должно быть инвариантом, приводит к ковариантным уравнениям для полей. Это не является ограничением на то, какие известные поля мы можем включить в рассмотрение, поскольку все известные законы физики могут быть ковариантным образом записаны. Дифференциальные законы обладают этим свойством. Любой закон, записанный как дифференциальное уравнение, может быть легко преобразован к ковариантной форме; мы предполагаем, что в касательном пространстве этот закон оказывается тем же самым, каким мы его знаем, затем мы вращаем и растягиваем координаты. Результирующие уравнения включают в себя производные полей вплоть до второй производной метрического тензора.

Как только мы проделали эти выкладки сначала в дифференциальной форме, затем в ковариантной форме, тогда мы можем использовать нашу теорию для того, чтобы вычислить, например, уравнение движения вещества в звезде. Рассмотренные процессы могут описываться законами, характеризующими непрозрачность, законами рассеяния и т.д. Что не является допустимым, так это использование законов, которые могли бы нарушить сохранение энергии. Мы не можем, например, сказать ”до свидания” тем нейтрино, которые образовались; эти нейтрино теряют энергию из-за наличия гравитационного потенциала, когда они покидают звезду, и последовательная теория не может быть написана, если мы пренебрегаем этим эффектом и влиянием плотности энергии нейтрино на модификацию гравитационного поля. Следовательно, не будет достаточным записать интегральные уравнения диффузии со свободными траекториями с конечным средним, но мы должны следовать уравнениям движения частиц диффузии, которые описываются полными законами, записанными в виде дифференциальных уравнений.

Для того, чтобы сделать выражения для нас проще, запишем здесь подынтегральную функцию в выражении для действия для полей непосредственно через метрический тензор. Наши предыдущие выражения выглядят проще, поскольку они определяются через комбинации метрического тензора, но этот вид часто оказывается более полезным

– R

– g

=-

– g

2

g

_,

g

_,

(

g

g

g

–

g

g

g

+

+2

g

g

g

– 2

g

g

g

)

+

+

– g

g

_,

(

g

g

–

g

g

)

,

.

(10.3.12)

Последний член есть производная, поэтому его интегрирование в выражении для действия даёт в результате нуль, так что часто мы можем вполне обоснованно выбросить этот член из рассмотрения. Для многих задач будет достаточно записать действие как интеграл от первого члена, обозначаемого как H, так что

S

_g

=-