Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
=
1
2
g
[
g
,
+
g
,
–
g
,
].
(10.1.16)
Второй и третий члены взаимно сокращаются, так как тензор g– симметричен. Оставшийся член содержит обратную матрицу g умноженную на градиент g. Из хорошо известной теоремы об определителях следует, что алгебраическое дополнение M матрицы g
g
=
M
g
,
(10.1.17)
и таким образом
g
,
=
g
,
M
=
g
,
g
g
.
(10.1.18)
Следовательно,
g
g
,
=
[log(-g)]
,
,
(10.1.19)
и свёрнутый символ Кристоффеля равен следующему соотношению
=
[log(-g)]
,
=
1
– 1
(
– 1
)
,
.
(10.1.20)
Кроме того, имеются следующие полезные формулы для ковариантных производных. Для скалярных функций ковариантные градиенты оказываются равными обычным градиентам
;
=
,
.
(10.1.21)
Для контравариантного вектора ковариантная дивергенция есть
A
;
1
– g
– g
A
,
(10.1.22)
Ковариантный ротор оказывается равным обычному ротору
A
;
–
A
;
=
A
,
–
A
,
(10.1.23)
Для тензоров второго ранга ответы оказываются различными (в зависимости от симметрии), для антисимметричных тензоров
F
;
=
1
– g
– g
F
,
если
F
=-
F
.
(10.1.24а)
Для симметричных
T
;
=
1
– g
T
– 1
,
–
1
2
g
,
T
,
если
T
=
T
.
(10.1.24б)
Используя эти соотношения, путём прямых вычислений можно получить, что соотношения (10.1.14) и (10.1.15) эквивалентны. Таким образом, мы видим, что инвариантность действия приводит к построению тензорной плотности, которая автоматически имеет нулевую ковариантную дивергенцию. Так как ковариантная производная метрического тензора g обращается в нуль, то ковариантная производная (-g); также обращается в нуль. (Заметим для точности, что обычная производная (-g), есть не то же самое, что ковариантная производная, поскольку -g есть скалярная плотность, а не скаляр). Тензор, ассоциированный с тензорной плотностью G также является бездивергентным,
G
=
G
– g
,
G
;
=
0.
(10.1.25)
В этой связи нам следует прояснить некоторое положение, которое достаточно кратко, но иногда оказывается довольно запутанным. В лекции 6 мы работали с функциональными уравнениями (например, соотношение (6.2.3) того же вида, что и соотношение (10.1.2)); решения этих уравнений являются в действительности тензорными плотностями, а не тензорами. Тензорная плотность T удовлетворяет уравнению
T
,
=-
T
,
(10.1.26)
где T=-gT, но тензор энергии-импульса T удовлетворяет следующему соотношению
T
,
=-
T
–
1
2g
g
,
T
.
(10.1.27)
10.2. Действие для классических частиц в гравитационном поле
Следующее, что мы обсудим, это то, как записать общий закон физики, который описывает не только гравитационные поля, но также и вещество. Мы предполагаем, что такой закон может быть выведен из принципа наименьшего действия; математическая формулировка которого состоит в том, что вариация действия равна нулю
S
=
dx
L[
g
,