Избранные научные труды

Бор Нильс Хенрик Давид

x

n

~

hc

VL

1/2

~

hc

L^2

.

Это выражение, дающее оценку флуктуаций поля, порождаемого пробными телами, всегда остаётся конечным и зависит только от линейных размеров области усреднения. Оно совпадает с выражением (14), относящимся к чистым флуктуациям чёрного излучения; последнее было выведено для случая L > cT из формального аппарата теории. Вообще приведённое выше рассуждение представляет не более чем пример рассмотренного в § 2 общего соотношения между флуктуациями чёрного излучения и статистическими отклонениями поля от его значения, вычисляемого на основе классической теории по заданному расположению источников. Там уже было упомянуто, что в случае L > cT, особенно важном для проверки аппарата теории, флуктуации чёрного излучения будут всегда меньше той напряжённости поля Q, которая характеризует дополнительную измеримость полевых величин,

а именно, они будут тем меньше, чем больше отношение L к cT. В нижеследующем сравнении между измерениями поля и аппаратом теории мы будем поэтому всегда исходить из вычисляемых классически выражений (43) и лишь под конец мы обсудим вопрос о значении флуктуационных явлений для непротиворечивости аппарата теории.

§ 5. Измерение отдельных усреднённых значений поля

В основу исследования возможностей измерения усреднённых значений поля мы положим уравнение (15), из которого будем исходить как из определения. Уравнение это выражает классически описываемый баланс количества движения (импульса) для пробного тела, находящегося в поле. Согласно приведённым выше рассуждениям, каждая компонента поля, например E_x, должна рассматриваться как результат наложения полей всех источников, включая поля от самих пробных тел. Сущность проблемы измерения состоит как раз в решении вопроса о том, в какой мере все эти поля могут быть сопоставлены отдельным источникам. Но мы хотели бы уже здесь подчеркнуть, что для принятого выше определения усреднённых значений поля строгая применимость классического понятия поля остаётся в полной силе; она не подрывается тем, что классическое описание полей, порождаемых пробными телами, справедливо, как мы уже упоминали, лишь в известных пределах. Для однозначности принятого выше определения требуется лишь, чтобы массы пробных тел могли быть выбраны достаточно большими (настолько большими, чтобы можно было пренебречь теми изменениями электромагнитных полей, которые происходят от ускорения пробных тел под влиянием измеряемых полей). Это соображение не связано с рассмотренным в § 3 вопросом о достижимой точности измерения импульса пробных тел в начале и в конце данного промежутка времени. Можно было бы усмотреть в указанном пренебрежении противоречие с атомным (дискретным) характером обмена импульса между электромагнитными полями и материальными телами. Однако здесь нужно иметь в виду, что в рассматриваемой проблеме измерения речь вовсе не идёт о том, чтобы проследить какие-либо определённые элементарные процессы в смысле представления о световых квантах. Так, в описанном выше измерительном устройстве твердый каркас (с которым каждое пробное тело связано до начала и после конца измерения) принимает на себя неконтролируемый импульс (толчок).

В предельном случае, когда возможно классическое описание взаимодействия между цугом электромагнитных волн и достаточно тяжёлым заряженным телом, указанный перенос импульса в точности компенсировал бы импульс, воспринятый пробным телом в течение промежутка времени, затраченного на измерение.

Прежде чем перейти к общему обсуждению проблемы измерения, мы рассмотрим сперва отдельное измерение поля, когда требуется (как в § 3) определить значение E_x, усреднённое по определённой пространственно-временной области, которую мы будем обозначать индексом I, в соответствии с обозначениями предыдущего параграфа. Согласно основному уравнению (15) мы получим для приращения импульса пробного тела выражение

p

_(II)''

x

–

p

_(II)'

x

=

_I

V

_I

T

_I

E

_(I)

x

+

E

_(I,I)

x

.

(45)

Здесь E^(I)_x — среднее значение того поля E_x, которое было бы в области I, если бы в момент времени t' не было предпринято измерение импульса пробного тела. Величина же E^(I,I)_x есть среднее значение той части поля, которая происходит от этого измерения импульса; основанная на классической теории оценка этой части поля даётся выражением (43), в котором нужно положить области I и II совпадающими.

Согласно изложенному в § 3, входящую в формулу (45) сумму усреднённых полей E^(I)_x и E^(I,I)_x можно определить с любой точностью, если только взять _I достаточно большим. Однако чем больше _I, тем больше будет неподдающееся контролю значение E^(I,I)_x, а в силу этого для точности, достижимой при помощи только что описанного простого измерительного устройства, будет существовать верхняя граница. Согласно (45) указанная точность даётся формулой

E

_(I)

^x

~

p

_(I)

x

I V

I T

I

+

E

_(I,I)

x

.

(46)

Имея

в виду, что входящая в (43) величина D^(I,I)_x может быть указана только с допуском x_(I), и учитывая соотношение .неопределённости (16), мы получаем из (46) следующее выражение для E^(I)_x:

E

_(I)

^x

~

h

_Ix_IV_IT_I

+

_I

x

_I

V

_I

T

_I

|

A

(II)

xx

|.

(47)

Наименьшее значение этого выражения, очевидно, равно

_m

E

_(I)

^x

~

h

|

A

(II)

xx

|

1/2

.

(48)

а в случае L_I > cT_I это число равно как раз критической величине Q. Правда, в том случае, когда L_I велико по сравнению с T_I величина (48) будет существенно меньше того выражения (24), которое рассматривалось Ландау и Пайерлсом как абсолютный предел измеримости полевых величин. Но если бы величина (48) действительно была неизбежным пределом точности измерения поля, то мы бы всё же вынуждены были прийти к заключению, совпадающему с точкой зрения указанных авторов, а именно, что формальный аппарат квантовой электродинамики не допускает, будто бы, проверки в собственно квантовой области, так что вся теория поля имела бы реальный физический смысл только в классическом предельном случае.

Это заключение не может, однако, быть признано справедливым. В самом деле, согласно (43) входящий в выражение для E^(I,I)_x множитель при неизвестном смещении D^(I)_x представляет вполне определённую величину, зависящую только от геометрических соотношений; а это обстоятельство позволяет расположить измерения так, чтобы действие поля E^(I)_x полностью компенсировалось, если не считать неизбежных флуктуаций поля. Этого можно достигнуть таким измерительным устройством, в котором пробное тело даже и в течение времени измерения T не будет свободным, а остаётся связанным с твердым каркасом посредством пружинного механизма, упругое напряжение которого пропорционально D^(I)_x. Пусть этот механизм действует на пробное тело с некоторой упругой силой и пусть составляющая этой силы по оси x равна -F_ID^(I)_x. Если коэффициент упругости F_I этой силы взять равным

F

_I

=

₂

^I

V

₂

^I

T

₂

^I

A

(II)

xx

,

(49)

то, очевидно, весь импульс, переданный полем E^(I)_x пробному телу, полностью нейтрализуется пружиной. Во всяком случае это будет так, если пробное тело настолько тяжело, что период его колебаний под действием пружины велик по сравнению с T_I а значит его смещение (производимое за время T_I натяжением пружины) мало по сравнению с D^(I)_x. Правда, действие пружины может описываться при помощи классической механики лишь в асимптотическом предельном случае; однако основанные на таком описании расчёты будут справедливы с тем большей точностью, чем больше масса пробного тела. Если оставить в стороне те ограничения, которые обусловлены атомистической структурой всех тел, то против описанного выше компенсирующего устройства никаких принципиальных возражений быть не может. Во-первых, использование механической пружины позволяет обходиться без электромагнитных полей, которые были бы неотделимы от полей, подлежащих измерению. Во-вторых, здесь, очевидно, не требуется учёта каких-либо эффектов запаздывания, если только длина пружины достаточно мала, т. е. мала по сравнению с величиной cT_I. При условии, что система пробных тел достаточно тяжела, будет безразлично, действует ли пружина на отдельное (одно) пробное тело или же используется система пружин, действующих равномерно на все пробные тела.