Избранные научные труды

Бор Нильс Хенрик Давид

=

A

^{– 7/6}

x

x

h²

12M_p r₀²

·

1

4r₀²O

1/2

n

^1/2

(2n+1)

^1/2

x

x

[

(n-1)

(n+1)

(2n+1)

–

20(n-1)x

]

^{– 1/2}

.

(25)

Поскольку

h²

12M_p r₀²

·

1

4r₀²O

1/2

1

3

,

это отношение действительно является малой величиной,

и, следовательно, деформации, величина которых сравнима с размерами ядра, можно приближённо описывать классически посредством волновых пакетов, построенных из квантовых состояний. В частности, можно приближённо описывать классически критическую деформацию, приводящую к делению. Это следует из сравнения критической энергии E_f ~ 6 Мэв, требуемой, как мы увидим в разделе IV, для объяснения данных наблюдений в случае урана, с энергией нулевых колебаний простейшего вида (капиллярные колебания), равной

1

2

h

₂

=

A

^{– 1/2}

4r

₀

²

O

·

2(1-x)

x

x

h²

3M_p r₀²

1/2

0,4

Мэв

.

(26)

Отсюда очевидно, что амплитуда рассматриваемой деформации значительно превосходит размер возмущений, создаваемых нулевыми колебаниями,

₂²

ср.

₂²

ср. по осн. сост.

~

E_f

1/2 h₂

~

15.

(27)

Капля, с которой мы сравниваем ядро, может совершать колебания около формы неустойчивого равновесия также и в критическом состоянии. Если рассмотреть распределение этих характеристических колебаний по частотам, то при больших частотах нам следует ожидать спектра, качественно не очень сильно отличающегося от спектра обычных колебаний нормальных видов около состояния устойчивого равновесия. Обсуждаемые колебания можно схематически представить на рис. 3 в виде движения изображающей точки системы в конфигурационном пространстве перпендикулярно направлению, которое ведёт к делению. Когда система находится вблизи критического состояния, распределение её энергии между такими видами движения и теми, которые ведут к делению, является определяющим для вероятности деления. Проблема нахождения её значения рассматривается с помощью статистической механики в разделе III. Здесь мы хотели бы лишь отметить, что процесс деления с практической точки зрения является почти необратимым процессом. Действительно, представим себе, что два ядра-осколка, возникшие в результате деления, отразились без потери энергии и стали двигаться прямо навстречу друг другу. Тогда в обычных условиях электростатическое отталкивание не позволит им прийти в соприкосновение. Это видно из рассмотрения разницы в энергии между начальным ядром и двумя сферическими ядрами вдвое меньшего объёма, которая даётся формулой (19) и связана с величиной f*(x) изображённой на графике (см. рис. 4), пунктирной линией. Чтобы сравнить эту разницу с энергией, необходимой для первоначального процесса деления [сплошная кривая f(x) на том же рисунке], заметим, что энергия поверхностного натяжения 4r₀²OA^2/3 для самых тяжёлых ядер порядка 500 Мэв. Отсюда получаем значение 0,05·500 Мэв = 25 Мэв для разности между энергией, которой обладает тяжёлое ядро при наступлении возможности деления, и той энергией, которая необходима для приведения в соприкосновение двух сферических осколков. Разумеется, при сближении осколков в них будут возникать вполне заметные приливные силы, но простая оценка показывает, что они снижают упомянутую разность энергий на величину около 10 Мэв, что не меняет наших выводов. Однако здесь нет парадокса; это следует из того факта, что процесс деления в действительности происходит через такую конфигурацию, в которой сумма энергии поверхностного натяжения и электростатической энергии значительно меньше, чем для двух соприкасающихся сфер, даже с учётом искажения формы за счёт приливных сил. Можно считать, что в ходе процесса деления разрыв поверхности, окружающей начальное ядро, происходит лишь тогда, когда энергия взаимного электростатического отталкивания двух возникающих ядер падает до значения, значительно меньшего, чем то, которое соответствует двум разделённым сферам. При этом запас электростатической энергии должен быть достаточным для совершения работы, которую нужно затратить для разрыва поверхности. Площадь же последней возрастает при этом до значения, большего, чем то, которое соответствует двум сферам. Отсюда ясно, что два образующихся при делении осколка будут обладать внутренней энергией возбуждения. Следовательно, если мы хотим обратить процесс деления, то мы должны сделать так, чтобы осколки сходились вновь достаточно деформированными, причём их деформации должны иметь такое направление, чтобы выступы их поверхностей могли прийти в соприкосновение и силы поверхностного натяжения начали стягивать их вместе, пока электростатическое отталкивание между эффективными центрами тяжести электрических зарядов двух частей ещё не стало слишком большим. Вероятность того, чтобы два атомных ядра в произвольном реальном столкновении оказались нужным образом возбуждёнными и обладали бы такими фазовыми соотношениями, чтобы было возможно их слияние с образованием составного ядра, должна быть крайне малой. Такие процессы слияния, обратные делению, могут ожидаться для невозбуждённых ядер лишь при кинетической энергии, гораздо большей, чем выделяющаяся в обсуждаемых здесь процессах деления.

Приведённое рассмотрение процесса деления, основанное на сравнении свойств ядра со свойствами жидкой капли, следует дополнить следующим замечанием. Хотя деформация, которая приводит к делению,

связана с большей эффективной массой и более низкими квантовыми частотами, чем все остальные ядерные колебания высшего порядка, и, следовательно, в наибольшей степени подходит для классического описания, ей свойствен ряд специфических квантовомеханических черт. В частности, в определении критической энергии имеется принципиальная неточность, которая оказывается порядка энергии нулевых колебаний h²/2, что, впрочем, как мы видели выше, составляет лишь сравнительно малую величину. Более важной с точки зрения стабильности ядра является возможность квантовомеханического туннельного эффекта, благодаря которому ядро может делиться даже в основном состоянии, проникая через область конфигурационного пространства, в которой по классическим представлениям кинетическая энергия должна быть отрицательной.

Точное решение задачи о делении тяжёлого ядра в основном состоянии, очевидно, является очень сложной математической проблемой. Используя естественное обобщение известной теории альфа-распада, вероятность процесса деления в единицу времени можно в принципе вычислять по формуле

_f

=

_f

h

=

5_f

2

exp

– 2

P₂

P₁

2(V-E)

i

m

_i

da

dx_i

2

1/2

da

h

.

(28)

Множитель 5 учитывает степень вырождения колебаний, приводящих к нестабильности. Квант энергии, характеризующий эти колебания, равен согласно (26) h ~ 0,8 Мэв. Интеграл в экспоненте для случая одной частицы сводится к коэффициенту проницаемости Гамова. В нашей проблеме интеграл подобным же образом берётся в конфигурационном пространстве от точки устойчивого равновесия P₁ по пути, проходящему через седловидную точку (как указано пунктирной линией на рис. 3) и спускающемуся наиболее быстро к точке P₂, в которой классическая кинетическая энергия E-V снова равна нулю. Вдоль этого пути можно выразить координаты x_i каждой элементарной частицы через некоторый параметр . Так как интеграл не зависит от того, каким образом выбран этот параметр, можно для удобства выбрать а равным расстоянию между центрами тяжести возникающих ядер. Выполнить точный расчёт интеграла, входящего в (28), на основе модели жидкой капли представляется весьма сложным; поэтому мы оценим результат приближённо, приняв, что каждая элементарная частица проходит по прямой расстояние 1/2 вправо или влево в зависимости от того, с каким из двух возникающих ядер она связана. Кроме того, мы примем разность V-E по порядку величины равной критической энергии деления E_f. При этом для показателя экспоненты в (28) получаем приближённое выражение

(2ME

_f

)

^1/2

·

h

.

(29)

Полагая M=239·1,66·10^{– 24}, F_f~6 Мэв = 10^{– 5} эрг и считая расстояние между ядрами величиной, значение которой находится в интервале между значениями диаметра и радиуса ядра, т. е., например, порядка 1,3·10^{– 12} см, мы находим отсюда среднее время жизни по отношению к делению в основном состоянии

1

_f

=

10

^{– 21}

exp

(2·4·10

^{– 22}

·10

^{– 5}

)

^1/2

·

1,3·10^{– 12}

10^{– 27}

~

~

10

³⁰

сек

10

²²

лет.

(30)

Видно, что эта оценка времени жизни не только многократно превосходит промежутки времени порядка 10^{– 15}, характеризующие скорость наблюдающихся на опыте процессов деления, вызываемых нейтронами, но она велика даже по сравнению с временем жизни урана и тория по отношению к альфа-распаду. Такая высокая степень стабильности тяжёлых ядер по отношению к делению объясняется, как легко видеть, большими значениями масс частиц. Это обстоятельство уже отмечалось в цитированной статье Мейтнер и Фриша, где подчёркивались наиболее существенные характерные черты эффекта деления.

III. РАСПАД СОСТАВНОЙ СИСТЕМЫ КАК МОНОМОЛЕКУЛЯРНАЯ РЕАКЦИЯ

Чтобы определить вероятность деления, рассмотрим микроканонический ансамбль ядер, каждое из которых обладает энергией возбуждения, заключённой между E и E+dE. Число ядер выберем точно равным числу уровней (E)dE в этом интервале энергий, так что в каждом состоянии будет находиться одно ядро. Число ядер, которые испытают деление в единицу времени, при этом равно (E)dE_f/h в соответствии с нашим определением величины _f. Это число будет равно числу ядер в переходном состоянии, проникающих наружу через барьер деления в единицу времени ¹². На единицу длины, измеряемой вдоль пути, который ведёт к делению, будет (dp/h)*(E-E_f– K)dE квантовых состояний микроканонического ансамбля, для которых импульс и кинетическая энергия деформации имеют значения, лежащие соответственно в интервалах dp и dK=vdp. Здесь * — плотность тех уровней составного ядра в переходном состоянии, которые возникают вследствие возбуждения всех остальных степеней свободы, кроме координаты вдоль пути, ведущего к делению. В начальный момент у нас имеется одно ядро в каждом из рассматриваемых квантовых состояний, и, следовательно, число делений в единицу времени равно