Изложение системы мира
Шрифт:
Если поверхность внутренней жидкости выпукла, что имеет место для ртути в стеклянной трубке, действие жидкости на канал будет больше, чем действие жидкости в сосуде. Следовательно, в силу этой разности жидкость должна опуститься обратно пропорционально внутреннему диаметру трубки.
Поэтому с помощью наблюдённого поднятия или опускания жидкости в цилиндрической капиллярной трубке известного диаметра можно определить их для такой же жидкости в капиллярной трубке любого диаметра. Но если трубка не цилиндрическая и если её внутренняя поверхность есть некоторая вертикальная и прямая призма, каково будет опускание и поднятие жидкости в такой трубке? Решение этой проблемы как будто требует невозможного для современного анализа интегрирования уравнения по поверхности внутренней жидкости. К счастью, это уравнение, преобразованное особым образом, приводит к замечательному выводу, заключающему решение и объяснение многих капиллярных явлений: каковы бы ни были форма и размеры призмы, объём жидкости,
Представим себе, что жидкость поднимается в прямой вертикальной призме; ясно, что это происходит под действием стенок трубки на жидкость и самой жидкости на себя. Первый слой жидкости, прилегающий к стенкам, поднимается этим действием, этот слой поднимает второй, тот — третий и т.д. до тех пор, пока вес поднятого объёма жидкости не уравновесит притягивающие силы, которые стремятся поднять его ещё больше. Чтобы определить этот объём в состоянии равновесия, вообразим на нижнем конце трубки вторую идеальную трубку, стенки которой бесконечно тонки и являются продолжением внутренней поверхности первой трубки; эта трубка, не оказывая никакого действия на жидкость, не мешает взаимному действию первой трубки и жидкости. Предположим, что вторая трубка сначала имеет вертикальное положение, затем изгибается горизонтально и наконец снова занимает вертикальное положение, поднимаясь до поверхности жидкости и сохраняя по всей своей длине одинаковую форму и ширину. Ясно, что при равновесии жидкости давление в обеих вертикальных ветвях канала, составленного первой и второй трубками, одинаково. Но так как в первой вертикальной ветви, образованной первой трубкой и частью второй, жидкости больше, чем в другой вертикальной ветви, надо, чтобы возникающий избыток давления уничтожался вертикальными притяжениями призмы и жидкости, находящейся в этой первой ветви. Проанализируем внимательно эти притяжения.
Рассмотрим сначала те, которые имеют место около нижней части первой трубки. Если предположить, что призма — вертикальная и прямая, её основание будет горизонтальным. Жидкость, заключённая во второй трубке, притягивается вертикально вниз: во-первых, сама собой, во-вторых, жидкостью, окружающей эту вторую трубку. Но оба этих притяжения уничтожаются такими же притяжениями, испытываемыми жидкостью, заключённой во второй вертикальной ветви канала, около поверхности уровня всей массы жидкости. Поэтому здесь их можно не принимать во внимание. Жидкость первой вертикальной ветви второй трубки притягивается вертикально ещё жидкостью первой трубки, но это притяжение уничтожается притяжением, с которым она сама действует на эту последнюю жидкость. Поэтому и здесь снова эти два взаимных притяжения можно оставить без внимания. Наконец, жидкость второй трубки вертикально притягивается вверх первой трубкой, в результате чего появляется вертикальная сила, которую мы назовём первой силой и которая участвует в уничтожении избытка давления, вызванного поднятием жидкости в первой трубке.
Рассмотрим теперь силы, действующие на жидкость в первой трубке. В её нижней части она испытывает следующие притяжения: во-первых, она притягивает сама себя; но взаимные притяжения тела не сообщают ему никакого движения, если оно твёрдое, поэтому, не нарушая равновесия, можно вообразить жидкость в первой трубке отвердевшей. Во-вторых, эта жидкость притянута лежащей ниже жидкостью второй трубки. Но мы видели, что взаимные притяжения этих двух жидкостей уничтожаются и нет надобности их учитывать. В-третьих, она притянута наружной жидкостью, окружающей вторую трубку; из этого притяжения возникает вертикальная сила, направленная вниз, которую мы назовём второй силой. Мы видим здесь, что если закон притяжения, зависящий от расстояния, одинаков для молекул первой трубки и для молекул жидкости, так что они отличаются только интенсивностью в одинаковых объёмах, эти интенсивности относятся между собой как первая сила ко второй, так как внутренняя поверхность жидкости, окружающей вторую трубку, — та же самая, что и внутренняя поверхность первой трубки. Поэтому две массы отличаются только своей толщиной, но поскольку притяжение масс делается незаметным на заметных расстояниях, разность в их толщине, если она ощутима, не оказывает никакого влияния на их притяжения. Наконец, в-четвёртых, жидкость первой трубки притягивается вертикально вверх этой трубкой. В самом деле, вообразим эту жидкость разделённой на бесконечное число маленьких вертикальных колонн. Если через верхний конец одной из этих колонн провести горизонтальную плоскость, часть трубки ниже этой плоскости не создаёт никакой вертикальной силы в колонне, а следовательно, нет вертикальной силы, создаваемой этой трубкой, кроме силы, вызванной её частью, лежащей выше плоскости, и ясно, что вертикальное притяжение этой части трубки на колонну такое же, как всей трубки на равную и подобным же образом расположенную колонну во второй трубке. Поэтому полная вертикальная сила, созданная притяжением первой трубки на жидкость, заключённую в ней, равна силе, созданной притяжением этой трубки на жидкость, заключённую во второй трубке. Следовательно,
Объединяя все вертикальные притяжения, испытываемые жидкостью, заключённой в первой вертикальной ветви канала, получим вертикальную составляющую, направленную снизу вверх и равную удвоенной первой силе без второй. Эта равнодействующая должна уравновешивать избыток давления, вызванного весом столба жидкости, возвышающегося над её уровнем. Поэтому она равна этому объёму, умноженному на удельный вес жидкости.
Поскольку действие трубки имеет место только на неощутимых расстояниях, призма тоже действует только на колонны жидкости, крайне близкие к её поверхности. Поэтому можно не учитывать кривизну её стенок и рассматривать их как бы развёрнутыми в плоскость. И первая, и вторая силы тогда будут равны произведению ширины этой плоскости, или, что то же, периметра внутреннего основания трубки на постоянные коэффициенты, которые на основании предыдущего могут обозначать соответствующие интенсивности притяжения молекул трубки и жидкости при равенстве их объёмов. Равнодействующая, о которой мы говорили, будет поэтому пропорциональна этому периметру; и, следовательно, объём поднятой жидкости также будет ему пропорционален.
Средняя из высот всех точек верхней поверхности этой жидкости над уровнем есть частное от деления её объёма на основание призмы. Поэтому эта высота пропорциональна периметру призмы, разделённому на её основание.
Если призма представляет собой цилиндр, периметр её основания пропорционален её диаметру, а основание пропорционально квадрату диаметра. Поэтому средняя высота жидкости обратно пропорциональна диаметру. Когда призма очень узка, эта высота очень мало отличается от высоты самой низкой точки поверхности внутренней жидкости. Если жидкость смачивает стенки трубки, как спирт и вода смачивают стекло, эта поверхность очень близка к полусфере, и, исходя из этого, легко прийти к выводу, что для получения её средней высоты над уровнем надо к высоте её самой низкой точки прибавить 1/6 диаметра трубки. Эта последняя высота, исправленная таким образом, обратно пропорциональна диаметру трубки. Г-н Гей-Люссак подтвердил эти теоретические результаты большим числом опытов, проделанных с величайшей тщательностью и очень точными методами с водой, спиртом различной плотности, эфирными маслами и т.д.
Постоянное отношение объёма поднявшейся жидкости к периметру основания существует даже в том случае, когда кривизна его прерывиста, например когда этот контур — прямолинейный многоугольник, так как это отношение может быть нарушено только действием трубки около её краёв и только на протяжении, равном сфере заметного действия молекул. Поскольку это пространство неощутимо, ошибка должна быть совершенно нечувствительной. Поэтому указанное выше отношение можно распространить на призмы с любыми основаниями. Если эти основания подобны, они пропорциональны квадратам гомологичных линий, и их периметры пропорциональны этим линиям. Периметры, делённые на соответствующие им основания, а следовательно, средние высоты поднявшейся жидкости, обратно пропорциональны этим линиям.
Когда контуры оснований являются многоугольниками, описанными вокруг одного и того же круга, основания равны произведениям периметров этих контуров на полурадиус окружности. Поэтому отношения контуров к основаниям одинаковы и равны единице, делённой на этот полурадиус. Следовательно, средние высоты поднятия жидкости во всех этих трубках одинаковы.
Если основание призмы — прямоугольник, у которого две стороны очень большие, а другие очень маленькие, отношение периметра к основанию будет близко к единице, делённой на половину маленькой стороны. Если основание — окружность, у которой эта маленькая сторона является радиусом, отношение контура к основанию такое же, как и в предыдущем случае. Поэтому среднее поднятие жидкости в этих двух случаях одинаково. Первый случай весьма близок к тому, когда две параллельные плоскости погружены нижними частями в жидкость. Таким образом, средняя высота жидкости между двумя параллельными плоскостями равна этой высоте в цилиндрической трубке с внутренним радиусом, равным расстоянию между плоскостями, что полностью согласуется с опытами.
Если поместить призму вертикально в другую призму, вертикальную и пустую внутри, и погрузить их нижние концы в жидкость, объём этой жидкости, поднявшейся между внешней поверхностью внутренней призмы и внутренней поверхностью наружной призмы, пропорционален сумме периметров обоих оснований: одного — внутреннего и другого — внешнего. Эта теорема может быть легко доказана предыдущим методом. Отсюда следует, что если основания — подобные многоугольники, средняя высота поднявшейся между призмами жидкости такая же, как в подобной им призме, у которой каждая сторона внутреннего основания равна разности соответствующих сторон оснований.
Если полая призма, опущенная нижним концом в жидкость, наклонена к горизонту, объём поднявшейся над её уровнем жидкости, умноженный на синус угла наклона граней призмы, постоянно один и тот же, каков бы ни был этот наклон. В самом деле, это произведение выражает вес поднявшегося объёма жидкости, разложенный параллельно сторонам призмы. Этот разложенный таким образом вес должен уравновешивать действие призмы и внешней жидкости на жидкость, содержащуюся в призме, действие, которое, очевидно, одинаково при всех наклонах призмы. Поэтому вертикальная средняя высота поднявшейся жидкости всегда одинакова.