Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

РАЛЬФ ВИНС РАЛЬФ

А	Б	Комбинированный счет
1 000,00
– 1	– 250,00	750,00
2	345,20	– 1	– 172,50	922,50
– 1	– 212,17	2	424,35	1 134,67
2	567,34	1 702,01
– 1	– 391,46	– 1	– 391,46	919,09
2	422,78	2	422,78	1 764,65

Как

видите, с помощью этого метода мы получаем небольшой выигрыш, и чем больше сделок проходит, тем больше этот выигрыш. Тот же принцип применяется к торговле портфелем, где не все компоненты портфеля находятся на рынке в определенный момент времени. Вам следует торговать на оптималь­ных уровнях для комбинации компонентов (или одного компонента), чтобы получить в итоге оптимальный рост, как будто этой комбинацией компонентов (или одним компонентом) придется торговать бесконечное количество раз в будущем.

Потеря эффективности при одновременных ставках или торговле портфелем

Давайте вернемся к нашей игре с броском монеты 2:1. Допустим, мы собираемся одновременно сыграть в две игры: А и Б, — и существует нулевая корреляция между результатами этих двух игр. Оптимальные f для такого случая соответству­ют ставке в 1 единицу на каждые 4,347826 единицы на балансе счета, когда игры проводятся одновременно. Отметьте, что при начальном счете в 100 единиц мы заканчиваем с результатом в 156,86 единицы:

Таблица V
Система А Сделка P&L	Система Б	Сделка	P&L	Счет
Оптимальное f соответствует 1 единице на каждые 4,347826 единицы на счете:	100,00
– 1 -23,00	– 1	– 23,00	54,00
2 24,84	– 1	– 12,42	66,42
– 1 -15,28	2	30,55	81,70
2 37,58	2	37,58	156,86

Теперь давайте рассмотрим систему В. Она будет такой же, как система А и Б, только мы будем играть в эту игру без одновременного ведения другой игры. Мы сыграем 8 раз, но не 2 игры по 4 раза, как в прошлом примере. Теперь наше оптимальное f - это ставка 1 единицы на каждые 4 единицы на балансе счета. Мы, как и прежде, имеем те же 8 сделок, но лучший конечный резуль­тат (Таблица VI). Мы получили лучший конечный результат не потому, что оптимальные f не­много отличаются (оба значения f находятся на соответствующих оптимальных уровнях), а потому, что есть небольшая потеря эффективности при одновремен­ных ставках. Неэффективность является результатом невозможности изменения структуры вашего счета (т.е. рекапитализации) после каждой отдельной ставки, как в игре только по одной рыночной системе. В случае с двумя одновременными

ставками вы можете рекапитализировать счет только 3 раза, в то время как в слу­чае с 8 отдельными ставками вы рекапитализируете счет 7 раз. Отсюда возникает потеря эффективности при одновременных ставках (или при торговле портфелем рыночных систем).

Система В Счет

Сделка	P&L	100, 00
– 1	– 25	75
2	37, 5	112, 5
– 1	– 28, 13	84, 38
2	42, 19	126, 56
2	63, 28	189, 84
2	94, 92	284, 77
– 1	– 71, 19	213, 57
– 1	– 53, 39	160, 18

Оптимальное f соответствует единице на каждые 4 единице на счете

Мы рассмотрели случай, когда одновременные ставки не были коррелирова-ны. Давайте посмотрим, что произойдет при положительной корреляции (+1,00):

Таблица VII
Система А	Система Б
Сделка	P&L	Сделка	P&L	Счет
100,00
– 1	– 12,50	– 1	– 12,50	75,00
2	18,75	2	18,75	112,50
– 1	– 14,06	– 1	– 14,06	84,38
2	21,09	2	21,09	126,56

Оптимальное f

соответствует единице на каждые 8 единице на счете

Отметьте, что после 4 одновременных игр при корреляции между рыночными системами +1,00 мы увеличили первоначальный счет 100 единиц до 126,56. Это соответствует TWR = 1,2656, или среднему геометрическому (даже если это ком­бинированные игры) 1,2656 ^ (1/4) =1,06066. Теперь вернемся к случаю с одной ставкой. Обратите внимание, что после 4 игр мы получим 126,56 при начальном счете в 100 единиц. Таким образом, среднее геометрическое равно 1,06066. Это говорит о том, что скорость роста та­кая же, как и при торговле с оптимальными долями на абсолютно коррелиро­ванных рынках. Как только коэффициент корреляции опускается ниже +1,00, скорость роста повышается. Таким образом, мы можем утверждать, что при комби­нировании рыночных систем ваша скорость роста никогда не будет меньше, чем в случае одиночной ставки по каждой системе, независимо от того, насколько высоки корреля­ции, при условии, что добавляемая рыночная система имеет положительное арифмети­ческое математическое ожидание. Вспомним первый пример из этого раздела, когда 2 рыночные системы имели нулевой коэффициент корреляции. Эта рыночная система увеличила счет 100 единиц до 156,86 после 4 игр при среднем геометрическом (156,86/ / 100) ^ (1/4) = 1,119. Теперь давайте рассмотрим случай, когда коэффициент кор­реляции равен -1,00. Так как при таком сценарии никогда не бывает проигрыш­ной игры, оптимальная сумма ставки является бесконечно большой суммой (дру­гими словами, следует ставить 1 единицу на бесконечно малую сумму баланса сче­та). Для примера мы сделаем 1 ставку на каждые 4 единицы на счете и посмотрим на полученные результаты:

Таблица VIII
Система А	Система Б
Сделка	P&L	Сделка	P&L	Счет
Оптимальное f соответствует 1 единице на каждые 0,00 на балансе (показана 1 единица на каждые 4):
100,00
– 1	– 12,50	2	25,00	112,50
2	28,13	– 1	– 14,06	126,56
– 1	– 15,82	2	31,64	142,38
2	35,60	– 1	– 17,80	160,18

Из этого раздела можно сделать два вывода. Первый состоит в том, что при од­новременных ставках или торговле портфелем существует небольшая потеря эффективности, вызванная невозможностью рекапитализировать счет после каждой отдельной игры. Второй заключается в том, что комбинирование ры­ночных систем, при условии, что они имеют положительные математические ожидания (даже если они положительно коррелированы), никогда не уменьшит ваш общий рост за определенный период времени. Однако когда вы продолжае­те добавлять все больше и больше рыночных систем, эффективность уменьша­ется. Если у вас есть, скажем, 10 рыночных систем, и все они одновременно не­сут убытки, совокупный убыток может уничтожить весь счет, так как вы не смо­жете уменьшить размер каждого проигрыша, как в случае последовательных сделок. Таким образом, при добавлении новой рыночной системы в портфель польза будет только в двух случаях: когда рыночная система имеет коэффициент корре­ляции меньше 1 и положительное математическое ожидание или же когда систе­ма имеет отрицательное ожидание, но достаточно низкую корреляцию с другими составляющими портфеля, чтобы компенсировать отрицательное ожидание. Каждая добавленная рыночная система вносит постепенно уменьшающийся вклад в среднее геометрическое. То есть каждая новая рыночная система улучшает среднее геометрическое все в меньшей и меньшей степени. Более того, когда вы добавляете новую рыночную систему, теряется общая эф­фективность из-за одновременных, а не последовательных результатов. В неко­торой точке добавление еще одной рыночной системы принесет больше вреда, чем пользы.