Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров
Шрифт:
| Таблица II | ||||
| Система А Сделка P&L | Система Б Сделка P&L | Комбинированный счет | ||
| 100,00 | ||||
| 2 | 25,00 | 2 | 25,00 | 150,00 |
| – 1 | – 18,75 | – 1 | – 18,75 | 112,50 |
| 2 | 28,13 | 2 | 28,13 | 168,75 |
| – 1 | – 21,09 | – 1 | – 21,09 | 126,56 |
| 2 | 31,64 | 2 | 31,64 | 189,84 |
| – 1 | – 23,73 | – 1 | – 23,73 | 142,38 |
| – 100.00 | ||||
| Итоговая
| $42,38 |
| Таблица Ш | |||||
| Сделка | Система А P&L Полный капитал | Сделка | Система Б P&L Полный капитал | ||
| 50,00 | 50,00 | ||||
| 2 | 25,00 | 75,00 | – 1 | – 12,50 | 37,50 |
| – 1 | – 18,75 | 56,25 | 2 | 18,75 | 56,25 |
| 2 | 28,13 | 84,38 | – 1 | – 14,06 | 42,19 |
| – 1 | – 21,09 | 63,28 | 2 | 21,09 | 63,28 |
| 2 | 31,64 | 94,92 | – 1 | – 15,82 | 47,46 |
| – 1 | – 23,73 | 71,19 | 2 | 23,73 | 71,19 |
| – 50.00 | – 50.00 | ||||
| Чистая прибыль | 21,19140 | 21,19140 | |||
| Итоговая чистая прибыль по двум счетам = | $42,38 |
Как видите, при работе с отдельными денежными счетами обе системы выигрывают ту же сумму независимо от корреляции. Однако при комбинированном счете:
| Таблица IV | ||||
| Система А Сделка P&L | Система Б Сделка P&L | Комбинированный счет | ||
| 100,00 | ||||
| 2 | 25,00 | – 1 | – 12,50 | 112,50 |
| – 1 | – 14,06 | 2 | 28,12 | 126,56 |
| 2 | 31,64 | – 1 | – 15,82 | 142,38 |
| – 1 | – 17,80 | 2 | 35,59 | 160,18 |
| 2 | 40,05 | – 1 | – 20,02 | 180,20 |
| – 1 | – 22,53 | 2 | 45,00 | 202,73 |
| – 100.00 | ||||
| Итоговая чистая прибыль по комбинированному счету= | $102,73 |
При использовании комбинированного
Рассматривайте каждую игру как бесконечно повторяющуюся
Следующая аксиома, касающаяся торговли фиксированной долей, относится к максимизации текущего события, как будто оно должно быть осуществлено бесконечное количество раз в будущем. Мы определили, что для процесса независимых испытаний вы должны всегда использовать оптимальное и постоянное f, но при наличии зависимости оптимальное f уже не будет постоянной величиной.
Допустим, в нашей системе существует зависимость, в соответствии с которой подобное порождает подобное, а доверительная граница достаточно высока. Для наглядности мы будем использовать уже знакомую нам игру 2:1. Система показывает, что если последняя игра выигрышная, то следующая игра имеет 55% шанс выигрыша. Если последняя игра проигрышная, то следующая игра имеет 45% шанс проигрыша. Таким образом, если последняя игра была выигрышная, то исходя из формулы Келли, уравнение (1.10) для поиска оптимального f (так как результаты игры имеют бернуллиево распределение), получим:
(1.10) f =((2+1)* 0,55-1)/2 =(3*0,55- 1)/2=0,65/2=0,325
После проигрышной игры наше оптимальное f равно:
f =((2+1)* 0,45-1)/2 =(3*0,45-1) /2 =0,35/2 =0,175
Разделив наибольший проигрыш системы (т.е.
– 1) на отрицательные оптимальные f, мы получим 1 ставку на каждые 3,076923077 единицы на счете после выигрыша и 1 ставку на каждые 5,714285714 единицы на счете после проигрыша. Таким образом мы максимизируем рост в долгосрочной перспективе.
Отметьте, что в этом примере ставки как после выигрышей, так и после проигрышей все еще имеют положительное математическое ожидание. Что произойдет, если после проигрыша вероятность выигрыша будет равна 0,3? В таком случае математическое ожидание имеет отрицательное значение и оптимального f не существует, таким образом, вам не следует использовать эту игру:
(1.03) М0=(0,3*2)+(0,7*-1) =0,6-0,7 =-0,1
В этом случае следует использовать оптимальное количество только после выигрыша и не торговать после проигрыша. Если зависимость действительно существует, вы должны изолировать сделки рыночной системы, основанные на зависимости, и обращаться с изолированными сделками как с отдельными рыночными системами. Принцип, состоящий в том, что асимптотический рост максимизируется, когда каждая игра осуществляется бесконечное количество раз в будущем, также применим к нескольким одновременным играм (или торговле портфелем).
Рассмотрим две системы ставок, А и Б. Обе имеют отношение выигрыша к проигрышу 2:1, и обе выигрывают 50% времени. Допустим, что коэффициент корреляции между двумя системами равен 0. Оптимальные f для обеих систем (при раздельной, а не одновременной торговле) составляют 0,25 (т.е. одна ставка на каждые 4 единицы на балансе). Оптимальные f при одновременной торговле в обеих системах составляют 0,23 (т.е. 1 ставка на каждые 4,347826087 единицы на балансе счета). В случае, когда система Б торгует только две трети времени, некоторые трейдеры разорятся, если обе системы не будут торговать одновременно. Первая последовательность показана при начальном комбинированном счете в 1000 единиц, и для каждой системы оптимальное f соответствует 1 ставке на каждые 4,347826087 единицы:
| А | Б | Комбинированный счет | ||
| 1 000,00 | ||||
| – 1 | – 230,00 | 770,00 | ||
| 2 | 354,20 | – 1 | – 177,10 | 947,10 |
| – 1 | – 217,83 | 2 | 435,67 | 1 164,93 |
| 2 | 535,87 | 1 700,80 | ||
| – 1 | – 391,18 | – 1 | – 391,18 | 918,43 |
| 2 | 422,48 | 2 | 422,48 | 1 763,39 |
Рассмотрим теперь ситуацию, когда А торгует отдельно от Б. В этом случае мы делаем 1 ставку на каждые 4 единицы на комбинированном счете для системы А (так как это оптимальное f для одной игры). В игре с одновременными ставками мы все равно ставим 1 единицу на каждые 4,347826087 единицы на балансе счета как для А, так и для Б. Отметьте, что независимо от того, отдельная это ставка или одновременная ставка по А и Б, мы применяем то оптимальное f, которое увеличивает доход при бесконечном повторении ставок.