Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

РАЛЬФ ВИНС РАЛЬФ

70%	30%
60%	40%
50%	50%
40%	60%
30%	70%
20%	80%
10%	90%
АВС	80%	10%	10%
70%	20%	10%
70%	10%	20%
10%	30%	60%
10%	20%	70%
10%	10%	80%

Введем понятие КСП (комбинация систем в портфеле). Теперь для

каждой КСП рассчитаем совокупное HPR для отдельного дня. Совокупное HPR для данного дня будет суммой HPR каждой рыночной системы для этого дня, умноженных на процентные веса систем. Например, для систем А, В и С мы рассматриваем про­центные веса 10%, 50%, 40% соответственно. Далее допустим, что отдельные HPR для этих рыночных систем в тот день были 0,9, 1,4 и 1,05 соответственно. Тогда совокупное HPR для этого дня будет:

Совокупное HPR = (0,9 * 0,1) + (1,4 * 0,5) + (1,05 * 0,4) = 0,09 + 0,7 + 0,42 =1,21

Теперь нанесем дневные HPR для каждой КСП на ось Y В модели Марковица это соот­ветствует получаемому доходу. На оси Х отложим стандартное отклонение дневных HPR для каждой КСП. В модели Марковица это соответствует риску. Современную теорию портфеля часто называют Теорией Е -V, что соответству­ет названиям осей. Вертикальную ось часто называют Е — ожидаемая прибыль (expected return), а горизонтальную ось называют V — дисперсия ожидаемой при­были (variance in expected returns). После этого можно найти эффективную границу. Мы включили различные рынки, системы и факторы f и теперь можем количественно определить лучшие КСП (то есть КСП, которые находятся вдоль эффективной границы).

Стратегия среднего геометрического портфеля

В какой именно точке на эффективной границе вы будете находиться (то есть ка­кова эффективная КСП), является функцией вашего собственного неприятия риска, по крайней мере, в соответствии с моделью Марковица. Однако есть опти­мальная точка на эффективной границе, и с помощью математических методов можно найти эту точку. Если вы выберете КСП с наивысшим средним геометри­ческим HPR, то достигнете оптимальной КСП! Мы можем рассчитать среднее геометрическое из среднего арифметического HPR и стандартного отклонения HPR (обе эти величины у нас уже есть, так как они являются осями Х и Y модели Марковица!) Уравнения (1.16а) и (1.166) дают нам формулу для оценочного сред­него геометрического EGM (estimated geometric mean). Данный расчет очень бли­зок (обычно до четвертого или пятого знака после запятой) к реальному среднему геометрическому, поэтому можно использовать оценочное среднее геометричес­кое вместо реального среднего геометрического.

где EGM == оценочное среднее геометрическое;

AHPR = среднее арифметическое HPR, или координата, соответ­ствующая доходу по портфелю;

SD = стандартное отклонение HPR, или координата, соответ­ствующая риску по портфелю;

V = дисперсия HPR, равная SD ^{^} 2. Обе формы уравнения (1.16) эквивалентны.

При КСП с наивысшим средним геометрическим рост стоимости портфеля бу­дет максимальным; более того, данная КСП позволит достичь определенного уровня баланса за минимальное время.

Ежедневные процедуры при использовании оптимальных портфелей

Посмотрим на примере, как применять вышеописанный подход на ежеднев­ной основе. Допустим, что оптимальное КСП соответствует трем различным рыночным системам. Предположим, что процент размещения составляет 10%, 50% и 40%. Если бы вы рассматривали счет в 50 000 долларов, то он был бы «разделен» на три субсчета в 5000, 25 000 и 20 000 долларов для каждой рыночной системы (А, В и С) соответственно. Затем для баланса по субсчету каждой рыноч­ной системы вычислите, сколькими контрактами торговать. Скажем, фактор f дал следующие величины:

Рыночная система А: 1 контракт на $5000 баланса счета.

Рыночная система В: 1 контракт на $2500 баланса счета.

Рыночная система С: 1 контракт на $2000 баланса счета.

Тогда вы будете торговать 1 контрактом для рыночной системы А ($5000 / $5000), 10 контрактами для рыночной системы В ($25 000 / $2500) и 10 контрактами для рыночной системы С ($20 000 / $2000). Каждый день, когда общий баланс счета изменяется, все субсчета перерассчи­тываются. Допустим, что счет в 50 000 долларов на следующий день понизился до 45000 долларов. Так как мы каждый день заново перераспределяем средства по субсчетам, то получаем 4500 долларов для рыночной системы А, 22 500 долларов для рыночной системы В, и 18 000 долларов для рыночной системы субсчета С. На следующий день мы будем торговать нулевым количеством контрактов по рыноч­ной системе А ($4500 / $5000 = 0,9, или, так как мы всегда основываемся на целых числах, 0), 9 контрактами для рыночной системы В ($22 500 / $2500), и 9 контрак­тами для рыночной системы С ($18 000 / $2000). Перерассчитывайте субсчета ежеднев­но, независимо от того, что вы получили: прибыль или убыток. Помните, субсчета, ис­пользованные здесь, являются условной конструкцией.

Есть более простой для понимания способ, дающий те же самые ответы, — де­ление оптимального f рыночной системы на ее процентный вес. Это даст сумму в долларах, на которую мы затем разделим общий баланс счета, чтобы узнать, сколькими контрактами торговать. Так как баланс счета изменяется ежедневно, мы перерассчитываем субсчета также ежедневно для получения нового общего баланса счета. В рассмотренном примере рыночная система А, при значении f в 1 контракт на 5000 долларов баланса счета и процентном весе 10%, соответству­ет 1 контракту на 50 000 долларов общего баланса счета ($5000 / 0,10). Рыночная система В, при значении ib 1 контракт на 2500 долларов баланса счета и процен­тном весе 50%, соответствует 1 контракту на 5000 долларов общего баланса счета ($2500 / 0,50). Рыночная система С, при значении ib 1 контракт на 2000 долларов баланса счета и процентном весе 40%, соответствует 1 контракту на 5000 долларов общего баланса счета ($2000 / 0,40). Таким образом, если бы у нас было 50 000 дол­ларов на счете, мы бы торговали 1 контрактом в рыночной системе А, 10 контрак­тами в рыночной системе В и 10 контрактами в рыночной системе С. На следующий день процедура повторяется. Скажем, наш общий баланс счета повысился до 59 000 долларов. В этом случае разделим 59 000 долларов на 50 000 долларов и получим 1,18 (или округляя до целого числа 1), поэтому завтра мы бы торговали 1 контрактом в рыночной системе А, 11 контрактами ($59 000 / $5000 =11,8, что ближе к целому числу 11) в рыночной системе В и 11 контрактами в рыночной системе С. Предположим, в рыночной системе С со вчерашнего дня у нас открыта длин­ная позиция на 10 контрактов. Нам не следует добавлять сегодня до 11 контрак­тов. Суммы, которые мы рассчитываем с использованием баланса, рассчитыва­ются только для новь1х позиций. Поэтому завтра (если было открыто 10 контрак­тов, но мы закрыли позицию, т.е. зафиксировали прибыль) нам следует открыть 11 контрактов, если мы посчитаем это целесообразным. Расчет оптимального портфеля с использованием ежедневных HPR означает, что нам следует входить на рынок и изменять позиции на ежедневной основе, а не от сделки к сделке; но это не обязательно делать, если вы будете торговать по долгосрочной системе, по­скольку вам будет невыгодно регулировать размер позиции на ежедневной осно­ве из-за высоких накладных расходов. Вообще говоря, вам следует изменять пози­ции на ежедневной основе, но в реальной жизни вы можете изменять их от сдел­ки к сделке с малой потерей точности. Применение правильных дневных позиций не является большой проблемой. Вспомните, что при поиске оптимального портфеля мы использовали в ка­честве вводных данных дневные HPR. Поэтому нам следовало бы изменять размер позиции ежедневно (если бы мы могли изменять каждую позицию по цене, по которой она закрылась вчера). В действительности это становится непрактично, так как издержки на трансакции начинают перевешивать при­были от ежедневного изменения позиций. С другой стороны, если мы открываем позицию, которую собираемся удержи­вать в течение года, нам следует пересматривать ее чаще, чем раз в год (т.е. в конце срока, когда мы откроем другую позицию). Вообще, в подобных долгосрочных системах нам лучше регулировать позицию каждую неделю, а не каждый день. Аргументация здесь такова: потери из-за не совсем правильных дневных

позиций могут быть меньше, чем дополнительные издержки по сделкам для ежедневного изменения позиций. Вы должны определить, основываясь на используемой тор­говой стратегии, какие из потерь будут для вас меньше. Какой объем исторических данных необходим для расчета оптимальных портфелей? Этот вопрос можно сформулировать несколько иначе: «Какой объем исторических данных необходим для определения оптимального f дан­ной рыночной системы?» Точного ответа не существует. Вообще, чем больше исторических данных вы используете, тем лучше должен быть результат (то есть оптимальные портфели в будущем будут напоминать нынешние оптимальные портфели, рассчитанные по историческим данным). Однако соотношения из­меняются, хотя и медленно. Одна из проблем при использовании данных за слишком большой период времени заключается в том, что возникает тенденция к использованию в портфеле рынков, которые были активны в прошлом. На­пример, если бы вы создавали портфель в 1983 году на 5 годах прошлых данных, то, вероятнее всего, один из драгоценных металлов оказался бы частью опти­мального портфеля. Однако торговые системы по драгоценным металлам рабо­тали в большинстве своем очень плохо на протяжении нескольких лет после 1980-1981 годов. Поэтому, как видите, при определении будущего оптимально­го портфеля между использованием слишком большого количества историчес­ких данных и использованием слишком малого количества данных нужно най­ти золотую середину. И, наконец, возникает вопрос, как часто следует повторять всю процедуру по­иска оптимального портфеля. По большому счету вы должны делать это постоян­но. Однако в реальной жизни достаточно тестировать портфель каждые 3 месяца. И даже если производить эту операцию каждые 3 месяца, все еще есть высокая вероятность, что вы придете к тому же составу портфеля или очень сходному с тем, что создали ранее.

Сумма весов систем в портфеле, превышающая 100%

До настоящего момента мы ограничивали сумму процентных весов 100 про­центами. Однако возможно, что сумма процентных размещений для портфеля, который будет иметь наивысший геометрический рост, превысит 100%. Рас­смотрим, например, две рыночные системы, А и В, которые идентичны во всех отношениях, за тем исключением, что у них отрицательная корреляция (R < 0). Допустим, что оптимальное f в долларах для каждой из этих рыночных систем составляет 5000 долларов. Допустим, что оптимальный портфель на основе са­мого высокого среднего геометрического — это портфель, который размещает 50% в каждую из двух рыночных систем. Это означает, что вам следует торго­вать 1 контрактом на каждые 10 000 долларов баланса для рыночной системы А, и для системы В. Однако когда есть отрицательная корреляция, можно пока­зать, что оптимальный рост счета в действительности будет достигнут при тор­говле 1 контрактом для баланса, меньшего 10 000 долларов для рыночной сис­темы А и/или рыночной системы В. Другими словами, когда есть отрицатель­ная корреляция, сумма процентных весов может превышать 100%. Более того, возможно, что процентные размещения в рыночные системы могут по отдель­ности превысить 100%.

Интересно рассмотреть случай, когда корреляция между двумя рыночны­ми системами приближается к -1,00. В этом случае сумма для финансирова­ния сделок по рыночным системам стремится стать бесконечно малой. Дело в том, что в таком портфеле почти не будет проигрышных дней, так как про­игранная в данный день одной рыночной системой сумма возмещается сум­мой, выигранной другой рыночной системой в тот же день. Поэтому с помо­щью диверсификации возможно получить оптимальный портфель, который размещает меньшую долю f (в долларах) в данную рыночную систему, чем при торговле только в этой рыночной системе. Для этого для каждой рыночной системы вы можете разделить оптимальное f в долларах на количество рыночных систем, в которых работаете. В нашем приме­ре, вместо того чтобы выбрать 5000 долларов в качестве оптимального f для рыноч­ной системы А, нам следует использовать 2500 долларов (разделив 5000 долларов, оптимальное f, на 2, количество рыночных систем, в которых мы собираемся тор­говать), и таким же образом следует поступить с рыночной системой В. Теперь, когда мы используем данную процедуру для определения оптимального среднего геометрического портфеля, который состоит из 50% для А и 50% для В, это означа­ет, что нам следует торговать 1 контрактом на каждые 5000 долларов на балансе для рыночной системы А ($2500 / 0,5) и аналогично для В. В качестве еще одной рыночной системы вы можете использовать систему беспроцентного вклада. Это активы, не приносящие дохода, с HPR = 1,00 каждый день. Допустим, в нашем предыдущем примере оптимальный рост по­лучен при 50% для системы А и 40% для системы В. Другими словами, следует торговать 1 контрактом на каждые 5000 долларов на балансе для рыночной си­стемы А и 1 контрактом на каждые 6250 долларов для В ($2500 / 0,4). При ис­пользовании беспроцентного вклада в качестве другой рыночной системы это была бы одна из комбинаций (оптимальный портфель, который на 10% в деньгах). Если ваш портфель, найденный с помощью этой процедуры, не содержит сис­тему беспроцентного вклада в качестве одной из составляющих, тогда вы должны повысить используемый фактор и разделить оптимальные f в долларах, использу­емые в качестве вводных данных. Возвращаясь к нашему примеру, допустим, мы использовали беспроцентный вклад и две рыночные системы, А и В. Далее пред­положим, что наш итоговый оптимальный портфель не содержит систему бес­процентного вклада. Пусть оптимальный портфель оказался на 60% в рыночной системе А, на 40% в рыночной системе В (возможна любая другая процентная комбинация, веса которой в сумме дают 100%) и на 0% в системе беспроцентного вклада. Если бы мы разделили наши оптимальные f в долларах на два, то этого было бы недостаточно. Мы должны разделить их на число, больше 2. Итак, мы вернемся и разделим наши оптимальные f в долларах на 3 или 4, пока не получим оптимальный портфель, который включает систему беспроцентного вклада. Ко­нечно, в реальной жизни это не означает, что мы должны размещать какую-либо часть нашего торгового капитала в беспроцентные вклады. Беспроцентные акти­вы стоит использовать для того, чтобы определить оптимальную сумму средств на 1 контракт в каждой рыночной системе при сравнении нескольких рыночных систем. Вы должны знать, что сумма процентных весов портфеля, при которых дости­гался наибольший геометрический рост в прошлом, может быть выше 100%. Это­го можно достичь, разделив оптимальное f в долларах для каждой рыночной сис­темы на некое целое число (которое обычно является числом рыночных систем), включив беспроцентный вклад (то есть рыночную систему с HPR = 1,00 каждый день) в качестве еще одной рыночной системы. Корреляции различных рыноч­ных систем могут оказать серьезное воздействие на портфель. Важно понимать, что портфель может быть больше, чем сумма его частей (если корреляции его со­ставляющих частей достаточно низки). Также возможно, что портфель будет меньше, чем сумма его частей (если корреляции слишком высоки). Рассмотрим снова игру с броском монеты, где вы выигрываете 2 доллара, ког­да выпадает лицевая сторона, и проигрываете 1 доллар, когда выпадает обратная сторона. Каждый бросок имеет математическое ожидание (арифметическое) пятьдесят центов. Оптимальное f составляет 0,25, то есть надо ставить 1 доллар на каждые 4 доллара на счете, а среднее геометрическое составляет 1,0607. Теперь рассмотрим вторую игру, где сумма, которую вы можете выиграть при броске мо­неты, составляет 0,90 долларов, а сумма, которую вы можете проиграть, — 1,10 долларов. Такая игра имеет отрицательное математическое ожидание -0,10 долла­ра, таким образом, здесь нет оптимального f и соответственно нет и среднего гео­метрического. Посмотрим, что произойдет, когда мы будем играть в обе игры одновременно. Если корреляция этих игр равна 1,0 (то есть мы выигрываем при выпадении лице­вой стороны, а монеты всегда падают либо на лицевые стороны, либо на обрат­ные стороны), тогда результаты были бы следующими: мы выигрываем 2,90 дол­лара при выпадении лицевой стороны или проигрываем 2,10 доллара при выпа­дении обратной. Такая игра имеет математическое ожидание 0,40 доллара, оптимальное f= 0,14 и среднее геометрическое 1,013. Очевидно, что это худший подход к торговле с положительным математическим ожиданием. Теперь допустим, что игры имеют отрицательную корреляцию. То есть, когда монета в игре с положительным математическим ожиданием выпадает на лице­вую сторону, мы теряем 1,10 доллара в игре с отрицательным ожиданием, и нао­борот. Таким образом, результатом двух игр будет выигрыш 0,90 доллара в одном случае и проигрыш -0,10 доллара в другом случае. Математическое ожидание все еще 0,40 доллара, однако оптимальное f= 0,44, что дает среднее геометри­ческое 1,67. Вспомните, что среднее геометрическое является фактором роста вашего счета в среднем за одну игру.. Это означает, что в такой игре в среднем можно ожидать выигрыша в 10 раз больше, чем в уже рассмотренной одиночной игре с положительным математическим ожиданием. Однако этот результат по­лучен с помощью игры с положительным математическим ожиданием и ее ком­бинирования с игрой с отрицательным ожиданием. Причина большой разницы в результатах возникает из-за отрицательной корреляции между двумя рыноч­ными системами. Мы рассмотрели пример, когда портфель больше, чем сумма его частей.