Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров

РАЛЬФ ВИНС РАЛЬФ

где А =сумма в долларах, отведенная под первый контракт;

f =оптимальное f (от 0 до 1);

Маржа =первоначальная спекулятивная маржа для данного контрак­ та (залоговые средства, необходимые для открытия одного контракта);

Проигрыш =максимальный исторический совокупный проигрыш;

МАХ {} = максимальное значение выражения в скобках;

ABS = функция абсолютного значения.

При такой процедуре вы сможете пережить максимальный проигрыш и все еще иметь достаточно денег для следующей попытки. Хотя мы не можем быть уверены, что в будущем проигрыш наихудшего случая не превысит исторический проигрыш наихудшего случая, маловероятно, чтобы мы начали торговлю сразу с нового исторического проигрыша. Трейдер, использующий эту технику, каждый день должен вычитать сумму, полученную с помощью уравнения (2.01), из своего баланса. Остаток следует разделить на величину (наибольший проигрыш / -f). Полученный ответ следует округлить в меньшую сторону и прибавить единицу, таким образом, мы получим число контрактов для торговли.

Прояснить ситуацию поможет пример. Допустим, у нас есть система, где оптимальное f= 0,4, наибольший

исторический проигрыш равен -3000 долларов, максимальный совокупный проигрыш был -6000 долларов, а залог равен 2500 долларов. Используя уравнение (2.01), мы получим:

А = МАХ {(-$3000 / 0,4), ($2500 + ABS(-$6000))}

= MAX {($7500), ($2500 + $6000)}

= МАХ {$7500, $8500} == $8500

Таким образом, нам следует отвести 8500 долларов под первый контракт. Теперь допустим, что на нашем счете 22 500 долларов. Поэтому мы вычтем сумму под первый контракт из баланса: $22 500 - $8500 = $14 000 Затем разделим эту сумму на оптимальное f в долларах: $14 000/$7500 =1,867 Округлим полученный результат в меньшую сторону до ближайшего целого числа: INT (1,867)=1 Затем добавим 1 к полученному результату (1 контракт уже обеспечен 8500 долларами, которые мы вычли из баланса):1+1=2 Таким образом, мы будем торговать 2 контрактами. Если бы мы торговали на уровне оптимального f ($7500 на 1 контракт), то торговали бы 3 контрактами (22 500 / 7500). Как видите, этот метод можно использовать независимо от того, насколько велик баланс счета (однако чем больше баланс, тем ближе бу­дут результаты). Более того, чем больше баланс, тем менее вероятно, что вы в кон­це концов получите проигрыш, после которого сможете торговать только 1 кон­трактом. Трейдерам с небольшими счетами или тем, кто только начинает торго­вать, следует использовать этот подход.

Порог геометрической торговли

Существует еще один хороший подход для трейдеров, которые только начинают торговать, правда, если вы не используете только что упомянутый метод. При таком подходе используется еще один побочный продукт оптимального f — по­рог геометрической торговли. Мы уже знаем такие побочные продукты опти­мального f, как TWR, среднее геометрическое и т.д.; они были получены из оп­тимального f и дают нам информацию о системе. Порог геометрической торгов­ли — это еще один из таких побочных расчетов. По существу, порог геометрической торговли говорит нам, в какой точке следует переключиться на торговлю фикси­рованной долей, предполагая, что мы начинаем торговать фиксированным количе­ством контрактов. Вспомните пример с броском монеты, где мы выигрываем 2 доллара, если монета падает на лицевую сторону, и проигрываем 1 доллар, если она падает на обратную сторону. Мы знаем, что оптимальное f= 0,25, т.е. 1 ставка на каждые 4 доллара балан­са счета. Если мы торгуем на основе постоянного количества контрактов, то в сред­нем выигрываем 0,50 долларов за игру. Однако если мы начнем торговать фиксированной долей счета, то можем ожидать выигрыша в 0,2428 доллара на единицу за одну игру (при геометрической средней торговле). Допустим, мы начинаем с первоначального счета в 4 доллара и поэтому делаем 1 ставку за одну игру. В конце концов, когда счет увеличивается до 8 долларов, сле­дует делать 2 ставки за одну игру. Однако 2 ставки, умноженные на геометрическую среднюю торговлю 0,2428 доллара, дадут в итоге 0,4856 доллара. Не лучше ли при­держиваться 1 ставки при уровне баланса 8 долларов, так как нашим ожиданием за одну игру все еще будет 0,50 доллара? Ответ — «да». Причина в том, что оптималь­ное f рассчитывается на основе контрактов, которые бесконечно делимы, чего в реальной торговле не бывает.

Мы можем найти точку, где следует перейти к торговле двумя контракта­ми, основываясь на формуле порога геометрической торговли Т:

Т = ААТ / GAT * Наибольший убыток / -f,

где Т = порог геометрической торговли;

ААТ = средняя арифметическая сделка;

GAT = средняя геометрическая сделка;

f= оптимальное f (от 0 до 1). Для нашего примера с броском монеты (2 к I): Т=0,50 / 0,2428*-1 / -0,25 =8,24

Поэтому следует переходить на торговлю двумя контрактами, когда счет увели­чится до 8,24 доллара, а не до 8,00 долларов. Рисунок 2-1 иллюстрирует порог гео­метрической торговли для игры с 50% шансов выигрыша 2 долларов и 50% шан­сов проигрыша 1 доллара. Отметьте, что дно кривой порога геометрической торговли соответствует опти­мальному f. Порог геометрической торговли является оптимальным уровнем ба­ланса для перехода от торговли одной единицей к торговле двумя единицами. По­этому если вы используете оптимальное f, то сможете перейти к геометрической торговле при минимальном уровне баланса счета. Теперь возникает вопрос: «Мо­жем ли мы использовать подобный подход, чтобы узнать, когда переходить от 2 к 3 контрактам?», а также: «Почему в самом начале размер единицы не может быть 100 контрактов, если вы начинаете с достаточно большого счета, а не такого, который позволяет торговать лишь одним контрактом?» Разумеется, можно использовать этот метод при работе с размером единицы, большим 1. Однако это корректно в том случае, если вы не уменьшите размер единицы до перехода к геометрическому способу торговли. Дело в том, что до того, как вы перейдете на геометрическую торговлю, вы должны будете торговать постоянным размером единицы.

Допустим, вы начинаете со счета в 400 единиц в игре с броском монеты 2 к 1. Оп­тимальное f в долларах предполагает торговлю 1 контрактом (1 ставка) на каждые 4 доллара на счете. Поэтому начинайте торговать 100 контрактами (сделав 100 ставок) в первой сделке. Ваш порог геометрической торговли равен 8,24 дол­лара, и поэтому следует торговать 101 контрактом на уровне баланса 404,24 долла­ра. Вы можете преобразовать порог геометрической торговли, который соответ­ствует переходу с 1 контракта к 2 следующим образом:

Рисунок 2-1 Порог геометрической торговли для броска монеты 2 к 1

Преобразованное Т = EQ + Т - (Наибольший проигрыш / -f),

где EQ = начальный уровень баланса счета;

Т = порог геометрической торговли для перехода с одного контракта к двум;

f= оптимальное f (от 0 до 1).

Преобразованное Т = 400 + 8,24 - (-1 / -0,25) = 400 + 8,24 - 4 = 404,24

Таким образом, вы перейдете к торговле 101 контрактом (101 ставке), только когда баланс счета достигнет 404,24

доллара. Допустим, вы торгуете постоян­ным количеством контрактов, пока баланс счета не достигнет 404,24 доллара, где вы начнете применять геометрический подход. Пока баланс счета не достиг­нет 404,24 доллара, вы будете торговать 100 контрактами в последующих сдел­ках независимо от суммы счета. Если после того, как вы пересечете порог геометрической торговли (то есть после того, как баланс счета достигнет 404,24 доллара), вы понесете убыток и баланс упадет ниже 404,24 доллара, вы вернетесь снова к торговле на основе 100 контрактов и будете так торговать до тех пор, пока снова не пересечете геометрический порог. Невозможность уменьшения количества контрактов при уменьшении счета, когда вы находитесь ниже геометрического порога, является недостатком при использовании этой процедуры, когда контрактов больше 2. Если вы торгуете только 1 контрактом, геометрический порог является реальным методом для определения того, на каком уровне баланса начать торговать 2 контрактами (так как вы не можете торговать менее чем 1 контрактом при понижении баланса). Однако этот метод не работает, когда речь идет о переходе от 2 контрактов к 3, так как метод базируется на том, что вы начинаете торговлю с постоянного ко­личества контрактов. То есть, если вы торгуете 2 контрактами, метод не будет работать (за исключением случая, когда вы откажетесь от возможности пони­зить количество контрактов до одного при падении уровня баланса). Таким об­разом, начиная торговлю со 100 контрактов, вы не можете перейти к торговле меньшим числом контрактов. Если вы не будете уменьшать количество кон­трактов, которыми в настоящее время торгуете, при понижении баланса, то по­рог геометрической торговли или его преобразованная версия из уравнения (2.03) будет уровнем баланса, достаточным для добавления следующего кон­тракта. Проблема этой операции (не уменьшать при понижении) состоит в том, что вы заработаете меньше (TWR будет меньше) в асимптотическом смысле. Вы не выиграете столько, сколько бы выиграли при торговле полным оптимальным f. Более того, ваши проигрыши будут больше, и риск банкротства увеличится. Поэтому порог геометрической торговли будет эффективен, если вы начнете с наименьшего размера ставки (1 контракт) и повысите его до 2. Оптимально, если средняя арифметическая сделка более чем в два раза превышает среднюю геометрическую сделку. Предложенный метод следует использовать, когда вы не можете торговать дробными единицами.

Один комбинированный денежный счет по сравнению с отдельными денежными счетами

Прежде чем мы обсудим параметрические методы, необходимо рассмотреть не­которые очень важные вопросы в отношении торговли фиксированной долей. Во-первых, при одновременной торговле более чем в одной рыночной системе вы получите лучшие результаты в асимптотическом смысле, если будете использо­вать только один комбинированный денежный счет. Рассчитывать количество контрактов для торговли следует не для каждого отдельно взятого денежного сче­та, а для этого единого комбинированного счета.

По этой причине необходимо ежедневно «соединять» подсчета при измене­нии их балансов. Сравним две похожие системы: систему А и систему Б. Обе сис­темы имеют 50% шанс выигрыша и обе имеют отношение выигрыша 2:1. Поэтому оптимальное f диктует, чтобы мы ставили 1 доллар на каждые 4 доллара баланса. Первый пример описывает ситуацию, когда эти две системы имеют положитель­ную корреляцию. Мы начинаем со 100 долларов и разбиваем их на 2 подсчета по 50 долларов каждый. После регистрации сделки для этой системы изменится только столбец «Полный капитал», так как каждая система имеет свой собствен­ный отдельный счет. Размер денежного счета каждой системы используется для определения ставки для последующей игры:

Таблица I
Сделка	Система А P&L Полный капитал	Сделка	Система Б P&L Полный капитал
50,00	50,00
2	25,00	75,00	2	25,00	75,00
– 1	– 18,75	56,25	– 1	– 18,75	56,25
2	28,13	84,38	2	28,13	84,38
– 1	– 21,09	63,28	– 1	– 21,09	63,28
2	31,64	94,92	2	31,64	94,92
– 1	– 23,73	71,19	– 1	– 23,73	71,19
– 50.00	– 50.00
Чистая прибыль	21,19140	21,19140
Итоговая чистая прибыль по двум счета =	$42,38

Теперь мы рассмотрим комбинированный счет в 100 единиц. Вместо того чтобы ставить 1 доллар на каждые 4 доллара на комбинированном счете для каждой сис­темы, мы будем ставить 1 доллар на каждые 8 долларов комбинированного счета. Каждая сделка для любой системы затрагивает комбинированный счет, и именно комбинированный счет используется для определения размера ставки для после­дующей игры (Таблица II).

Отметьте, что в случае комбинированного счета и в случае отдельных счетов при­быль одна и та же: $42,38. Мы рассматривали положительную корреляцию между дву­мя системами. Теперь рассмотрим случай с отрицательной корреляцией между теми же системами, для двух отдельных денежных счетов (Таблица III):