Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Пенроуз Роджер

а соответствующие (ортонормированные) базисные векторы [162]

Тогда общее двухчастичное состояние можно было бы представить в виде

Такое обозначение состояний в виде «произведения» имеет следующий смысл: если | ) — возможное состояние первой частицы (не обязательно состояние с определенным

положением) и если | ) — возможное состояние второй частицы, то состояние, в котором первая частица находится в состоянии | ), а вторая — в состоянии | ), можно представить в виде

162

Математически можно сказать, что пространство двухчастичных состояний есть тензорное произведение пространства состояний первой частицы и пространства состояний второй частицы. Таким образом | X )| ), есть тензорное произведение состояний | X ) и | )

| ) | ).

«Произведения» можно также брать между любыми другими парами квантовых состояний, а не обязательно между парами одночастичных состояний. Таким образом, мы всегда интерпретируем состояние-произведение | ) | ) (не обязательно состояний отдельных частиц) как конъюнкцию

«первая система находится в состоянии | )» и

«вторая система находится в состоянии | )»

(Аналогичная интерпретация справедлива и относительно | ) | ) | ) и т. д.; см. далее.) Однако общее двухчастичное состояние в действительности не имеет вид «произведения». Например, оно может быть представимо в виде

| )| ) + | )| ),

где | ) — еще одно возможное состояние первой системы,

а | ) — еще одно возможное состояние второй системы. Это состояние представляет собой линейную суперпозицию , а именно: суперпозицию первой конъюнкции состояний | ) и | ) плюс вторая конъюнкция состояний | ) и | ), и не может быть представлено в виде простого произведения (т. е. как конъюнкция двух состояний). Еще один пример — состояние | )| ) — | )| ) описывало бы другую такую линейную суперпозицию. Заметим, что квантовая механика требует проведения четкого различия между смыслом слов «плюс» и «и». И в обращении с этими словами нам следует быть более осторожными!

В случае трех частиц ситуация во многом аналогична. Чтобы задать общее трехчастичное состояние в приведенном выше примере, где имеются только 10возможных положений, нам потребовалось бы теперь 1000комплексных чисел! Полный базис для трехчастичных состояний состоял бы из следующих элементов:

| 0 )| 0 )| 0 ), | 0 )| 0 )| 1 ), | 0 )| 0 )| 2 ), …, | 9 )| 9 )| 9 ).

Частные трехчастичные состояния имели бы вид произведений трех сомножителей

| )| )| )

(где | ), | ) и | ) — не обязательно состояния с определенным положением), но для общего трехчастичного состояния нам понадобилось бы построить

суперпозицию большого числа состояний типа этих простых «произведений». Соответствующая схема получения общего состояния для четырех и более частиц должна быть очевидна.

До сих пор мы рассматривали случай различимых частиц, когда все частицы: «первая», «вторая», «третья» и т. д. принадлежат к разным типам. Одна из поразительных особенностей квантовой механики заключается в том, что в случае «тождественных» частиц правила коренным образом меняются. Действительно, правила становятся такими, что в самом прямом смысле частицы определенного типа должны быть не просто почти тождественными, а в точности тождественными. Это относится ко всем электронам и ко всем фотонам. Но оказывается, что все электроны тождественны друг другу совсем не так , как тождественны все фотоны! Различие заключается в том, что электроны принадлежат к так называемым фермионам, тогда как фотоны принадлежат к бозонам. Эти два класса частиц надлежит рассматривать весьма различным образом.

Прежде чем я окончательно запутаю читателя этими словесными несуразностями, позвольте мне попытаться объяснить, как действительно следует характеризовать фермионные и бозонные состояния. Правило состоит в следующем. Если | ) — состояние, содержащее некоторое число фермионов определенного типа, то при перестановке любых двух фермионов | ) должно перейти в — | ):

| ) -> — | )

Если состояние | ) содержит некоторое число бозонов определенного типа, то при перестановке любых двух бозонов | ) должно перейти в | ):

| ) -> | )

Отсюда следует, что никакие два фермиона не могут находиться в одном и том же состоянии. Действительно, если бы какие-нибудь два фермиона находились в одном и том же состоянии, то их перестановка вообще никак не сказывалась бы на полном состоянии системы, следовательно должно было бы выполняться — | )=| ) т. е. | )= 0 , что не допустимо для квантового состояния. Это свойство известно как принцип запрета Паули [163] , а его следствия для структуры вещества имеют фундаментальный характер. Действительно, все главные составляющие вещества: электроны, протоны и нейтроны принадлежат к числу фермионов. Не будь принципа запрета, вещество бы просто сколлапсировало!

163

Блестящий австрийский физик Вольфганг Паули, сыгравший выдающуюся роль в развитии квантовой механики, выдвинул свой принцип запрета в 1925 году в качестве гипотезы. Полная квантовомеханическая теория того, что мы ныне называем «фермионами», была разработана в 1926 году выдающимся физиком Энрико Ферми и великим Полем Дираком, с которым мы уже несколько раз встречались по ходу изложения. Статистическое поведение фермионов соответствует «статистике Ферми — Дирака» (отличной от «статистики Больцмана» — классической статистики различимых частиц). «Статистика Бозе — Эйнштейна» бозонов была разработана для рассмотрения фотонов замечательным индийским физиком Шатьендранатом Бозе и Альбертом Эйнштейном в 1924 году.

Вернемся к нашему примеру с 10положениями и предположим теперь, что у нас есть состояние, состоящее из двух тождественных фермионов. Состояние | 0 )| 0 ) исключается в силу принципа Паули (при перестановке первого множителя со вторым оно переходит в себя вместо того, чтобы переходить в себя со знаком минус). Кроме того, состояние | 0 )| 1 ) также само по себе должно быть исключено, так как при перестановке множителей знак минус не появляется; но это легко можно исправить, если заменить произведение | 0 )| 1 ) комбинацией