Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
Шрифт:
Поскольку ln x— это такое число b, для которого верно равенство x = e b, ясно, что x = e ln x. Это равенство — просто записанное математически определение того, что такое ln x. Но в дальнейшем оно будет играть такую важную роль, что мы сделаем из него правило.
x = e ln x.
Это верно для любого положительного числах. Например, ln 7 есть 1,945910… по той причине, что (с точностью до шести знаков после запятой) 7 = 2,718281 1,945910. Отрицательные числа не имеют логарифмов (хотя это
Логарифмическая функция присутствует повсеместно в рассматриваемой области математики. Мы уже встречали ее в главе 3.viii-ix, где она участвовала в Теореме о распределении простых чисел и в ее эквивалентных формулировках. Она будет появляться снова и снова в этой книге во всем, что имеет отношение к простым числам и дзета-функции.
Раз уж логарифмическая функция будет встречаться на каждом шагу, рассмотрим ее подробнее. На рисунке 5.2 показан график [38] функции ln xдля аргументов, простирающихся до 55. В частности, отмечены значения этой функции для аргументов, равных 2, 6, 18 и 54. Эти аргументы растут «по умножению» на тройку, а как видно из графика, соответствующие значения функции растут равными шагами — т.е. «по сложению». Именно это обстоятельство подчеркивалось, когда мы говорили о логарифмической функции в главе 3.viii.
38
Если форма кривой кажется странно знакомой, то это потому, что сложение друг с другом Nчленов гармонического ряда (глава 1.iii) дает число, близкое к ln N.В действительности:
1 + 1/ 2+ 1/ 3+ 1/ 4+ 1/ 5+ 1/ 6+ 1/ 7+ … + 1/ N ~ ln N,и профиль той едва держащейся колоды карт, если его повернуть на 90 градусов и отразить в зеркале, и есть график функции ln x.
Рисунок 5.2.Логарифмическая функция.
Дело стоит того, чтобы сказать еще несколько слов. Логарифмическая функция хороша тем, что она превращает умножение в сложение. Взглянем на линии, отмеченные на графике. Аргументы равны 2, 6, 18 и 54 — мы начинаем с 2, потом умножаем на 3, потом снова на 3, потом еще раз на 3 и еще раз на 3. Значения функции, если ограничиться четырьмя знаками после запятой, равны 0,6931, 1,7918, 2,8904 и 3,9890 — они начинаются с 0,6931, потом прибавляется 1,0987, затем 1,0986 и еще раз 1,0986. Логарифмическая функция превратила умножение (на 3 в нашем случае) в сложение (прибавление числа ln 3, равного 1,09861228866811…).
Это следует из определения ln xи из правил действий со степенями. Из 8-го правила следует, что если aи b— любые два положительных числа, то axb = e ln a xe ln b. Но, заменяя правую часть согласно 1-му правилу, получаем axb= e ln a + ln b. Однако axb— само по себе некоторое число, и, согласно 8-му правилу, имеем axb= e ln (axb). Мы получили два различных выражения для axb. Приравнивая их, получаем новое правило действий со степенями.
ln (axb) =ln a +ln b.
Это
Из того, что ln (axb) =ln a +ln b, следует, что ln (axaxax…) =ln a +ln a +ln a + …. И это дает последнее правило действий со степенями.
ln (a N) = Nxln a.
Не повторяя необходимую цепь логических рассуждений, просто отметим, что это правило применимо ко всем степеням буквы а,включая и отрицательные. Особо важный частный случай состоит в том, что ln (1/a) =– ln a, поскольку 1/ аесть не что иное, как a – 1. Так что если нам известно, что ln 3 = 1,09861228866…, то мы немедленно заключаем, что ln 1/ 3= -1,09861228866…. Вот почему график функции ln xпроваливается вниз к отрицательной бесконечности по мере того, как xделается все ближе и ближе к нулю. Это обстоятельство тоже поможет нам повернуть Золотой Ключ.
Как мы видим, ln x— медленно возрастающая функция. Неторопливость, с которой ln xвозрастает, не только сама по себе обворожительна, но и важна. Главное здесь то, что ln xрастет медленнее, чем любая степень буквы x. На первый взгляд это кажется довольно очевидным. Когда я говорю «степень буквы x», вы, должно быть, думаете о квадратах и кубах; а как вы знаете, график функции возведения в квадрат или куб так лихо вылетает за границы рисунка, что его и сравнивать нечего с еле плетущейся логарифмической функцией. Это, конечно, верно, но дело не в этом. Я имею в виду не степени вроде х 2или х 3, а степени типа х 0, 1.
На рисунке 5.3 показаны графики некоторых функций x aдля малых значений a. Там выбраны a= 0,5, 0,4, 0,3, 0,2 и 0,1, а пунктиром для сравнения показана логарифмическая функция. Как видно, чем меньше a, тем более плоским делается график функции x a.А кроме того, для тех a, которые меньше определенного значения (на самом деле — значения 1/ e, что равно 0,3678794…), кривая, отвечающая функции ln x, пересекает кривую x aдо того, как уйти достаточно далеко на восток.
Рисунок 5.3.Функции x aпри малых положительных a.
Так вот, неважно, сколь маленьким вы возьмете a, все равно график функции ln xрано или поздно окажется более плоским, чем график x a. Если абольше чем 1/ e, то это видно сразу, даже на изображенных графиках. Если же aменьше чем 1/ e, то, уйдя достаточно далеко на восток — т.е. взяв достаточно большой аргумент x, мы увидим, как кривая ln x сновапересекает кривую x a, после чего уже навсегда остается ниже нее.