Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Дербишир Джон

Гипотеза Римана

Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, равную одной второй.

Таблица 5.1 дает нам первое представление о дзета-функции Римана и тем самым представляет собой первый шаг к пониманию Гипотезы Римана.

VII.

Коль скоро в предшествующих разделах данной главы мы потрудились придать смысл степенной функции x ^aдля любого числа a, а не просто для целых чисел, сейчас нет причины ограничивать букву Nв выражении (5.1) целыми числами. Можно представить себе, как это число свободно парит, принимая различные значения — дробные, отрицательные и иррациональные. Нет, правда, гарантии, что ряд будет сходиться для всех чисел — как мы уже знаем из главы 1.iii, он не сходится при N = 1.

Но можно, по крайней мере, попытать счастья, исследуя разные возможности.

В связи с осознанием этой новой мысли, сменим обозначение Nна другую букву, которая имеет меньше традиционных ассоциаций с целыми числами. Очевидным выбором, конечно, была бы буква x. Но Риман в своей работе 1859 года не использовал икса. Подобные вопросы в его время не были урегулированы. Вместо этого он пользовался буквой s; а его работа 1859 года приобрела такое значение, что все математики, жившие после Римана, вслед за ним использовали ту же букву. В исследованиях, посвященных дзета-функции, аргумент всегда обозначается буквой s.

И вот наконец перед нами дзета-функция Римана (дзета, которая пишется как , — это шестая буква греческого алфавита) (5.2):

VIII.

Прежде чем двигаться дальше, давайте введем полезные математические обозначения, которые сократят работу по набору формул. (Думаете, легко вставить штуки, подобные выражению (5.2) , в Microsoft Word?)

Если математики хотят сложить некоторое множество членов, которые все построены по общему закону, то они используют знак . Это заглавная буква «сигма», восемнадцатая буква греческого алфавита, обозначающая греческую «с» (первую букву в слове «сумма»). Применяется она следующим образом. Суммируемый член, записанный с помощью данного правила, помещается «под» (на самом деле имеется в виду — справа, хотя вопреки логике говорится «под») знаком сигмы. А снизу и сверху от сигмы указывается, где сумма начинается и где заканчивается. Например, выражение

представляет собой математическую «стенографию» — краткую запись выражения 12 + 13 + 14 + 15. Сигма говорит нам: «Сложить их!»; выражения сверху и снизу от сигмы показывают, где начать сложение и где его закончить; и наконец, выражение под знаком сигмы говорит, что, собственно, надо складывать — в данном случае n.

Математики не особенно педантичны по поводу стиля таких выражений. Приведенную выше сумму часто записывают как

поскольку ясно, что именно nпробегает значения от 12 до 15. Теперь, вовсю используя знак сигмы, мы можем не тратить силы на лишние символы, а записать выражение (5.2) в виде

А с учетом 5-го правила действий со степенями это же можно записать как

И более того, поскольку nс очевидностью (и часто) используется для обозначения положительных целых чисел 1, 2, 3, 4, …, математики сокращают запись еще сильнее и просто пишут

что выражает ту же самую дзета-функцию Римана. Читается это так: «дзета от sопределена как взятая по всем nсумма от nв степени минус s». Здесь «по всем n» понимается как «по всем целым положительным п».

IX.

Получив дзета-функцию в виде изящного выражения, посмотрим повнимательнее на ее аргумент s. Из главы 1.iii мы уже знаем, что при s, равном единице, ряд расходится, и, следовательно, у дзета-функции нет значения. При s, равном 2, 3, 4, …, он всегда сходитсяи тем самым дает значения дзета-функции (см. таблицу 5.1 ). На

самом деле можно показать, что ряд сходится при любом s, большем единицы. При s, равном 1,5, ряд сходится к 2,612375…. При s, равном 1,1, он сходится к 10,584448…. А при s, равном 1,0001, он сходится к 10000,577222…. Может показаться странным, что ряд расходится при s = 1, но при этом умудряется сходиться при s = 1,0001. Это, однако, нормальная ситуация в математике. На самом деле, когда sочень близко к 1, дзета-функция замечательным образом ведет себя подобно функции 1/( s– 1). Эта функция также имеет значения при всех s, кроме того случая, когда sв точности равняется 1, поскольку знаменатель тогда равен нулю, а на нуль делить нельзя.

Некоторую ясность может внести график. На рисунке 5.4 показан график дзета-функции. Как видно, когда аргумент sприближается к 1 справа, значения функции убегают на бесконечность, а когда sсамо уходит на бесконечность далеко справа, функция все более и более приближается к 1. (Я пририсовал еще два пунктира: линию s = 1 и график постоянной функции.)

Рисунок 5.4.Дзета-функция для аргументов, превышающих 1.

На графике не показано ничего про дзета-функцию слева от линии s = 1. Это потому, что до сих пор мы предполагали, что sбольше единицы. А если меньше? Если, скажем, sравно нулю? Ну, тогда выражение (5.2) примет вид

Но согласно 4-му правилу эта сумма равна 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + …, что довольно очевидным образом расходится. Возьмем сумму ста членов: она будет равна 100; тысячи — 1000. Сложение миллиона слагаемых дает значение 1000 000. Да, ряд расходится.

С отрицательными числами дело обстоит еще хуже. Каково значение выражения (5.2) , если sравно -1? Из 5-го правила следует, что 2 ^{– 1}— это просто ¹/ ₂, 3 ^{– 1}— просто ¹/ ₃и т.д. Поскольку 1: ¹/ ₂есть просто 2, 1: ¹/ ₃— просто 3 и т.д., наш ряд принимает вид 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …, что определенно расходится. А как насчет s= ¹/ ₂? Поскольку 2 ^1/2— это просто 2 и т.д., ряд принимает вид

Поскольку квадратный корень из любого целого числа меньше самого числа, каждый член этого ряда [41] больше, чем соответствующий член ряда 1 + ¹/ ₂+ ¹/ ₃+ ¹/ ₄+ ¹/ ₅+ ¹/ ₆+ ¹/ ₇+ …. (Элементарная алгебра: если aменьше, чем b, то 1/aбольше, чем 1/b. Например, 2 меньше, чем 4, но 1/2 больше, чем 1/4). Указанный ряд расходится, а значит, интересующий нас ряд также расходится. Ну и правда, если вы потрудитесь вычислить суммы, то окажется, что первые десять членов суммируются к 5,020997899…, первые сто — к 18,589603824…, первые тысяча — к 61,801008765…, а первые десять тысяч — к 198,544645449… и т.д.

41

Очевидно, кроме первого. Читатель, вознамерившийся тем или иным способом проверять утверждения автора, должен делать скидку на подобные, как часто горят математики, «вольности речи». В серьезных математических статьях их, как правило, не меньше, чем в данной книге. (Примеч. перев.)