Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Дербишир Джон

. 73 . 75 . 77 . 79 . 81

. 83 . 85 . 87 . 89 . 91

. 93 . 95 . 97 . 99 . 101

. 103 . 105 . 107 . 109 . 111

Первое выжившее число после двойки — это 3. Сохраняя теперь 3 в неприкосновенности, удалим каждое третье число после 3, если оно еще не удалено. Получим

2 3 . 5 . 7 . . . 11

. 13 . . . 17 . 19 . .

. 23 . 25 . . . 29 . 31

. . . 35 . 37 . . . 41

. 43 . . . 47 . 49 . .

. 53 . 55 . . . 59 . 61

. . . 65 . 67 . . . 71

. 73 . . . 77 . 79 . .

. 83 . 85 . . . 89 . 91

. . . 95 . 97 . . . 101

. 103 . . . 107 . 109 . 111

Первое

выжившее число после тройки — это 5. Сохраняя теперь 5 в неприкосновенности, удалим каждое пятое число после 5, если оно еще не удалено. Получим

2 3 . 5 . 7 . . . 11

. 13 . . . 17 . 19 . .

. 23 . . . . . 29 . 31

. . . . . 37 . . . 41

. 43 . . . 47 . 49 . .

. 53 . . . . . 59 . 61

. . . . . 67 . . . 71

. 73 . . . 77 . 79 . .

. 83 . . . . . 89 . 91

. . . . . 97 . . . 101

. 103 . . . 107 . 109 . 111

Первое выжившее число — это 7. Следующий шаг состоит в том, чтобы, сохраняя теперь 7 в неприкосновенности, удалить каждое седьмое число после 7, если его еще не удалили до этого. Первое число, которое выживает после этого, — 11. И так далее.

Если проводить эту процедуру бесконечно, то оставшимися числами будут все простые числа. В этом и состоит «решето Эратосфена». Если остановиться прямо перед тем, как пришло время обрабатывать простое число p— другими словами, прямо перед тем, как надо будет удалять каждое p-е число, если оно еще

не было удалено, — то мы получим все простые числа, меньшие p ². Поскольку выше мы остановились прямо перед обработкой семерки, у нас имеются все простые до 7 ², т.е. 49. Послеэтого числа остаются и не простые числа, такие как 77.

III.

Решето Эратосфена — вещь достаточно простая. И ему уже 2230 лет. Как же оно перенесет нас в середину XIX века, к глубоким результатам в теории функций? А вот как.

Я собираюсь повторить только что проведенную процедуру. (Именно по этой причине мы разобрали ее столь тщательно.) Но на этот раз я применю ее к дзета-функции Римана, которую мы определили в конце главы 5. Дзета-функция от некоторого аргумента s, большего единицы, записывается как

Стоит заметить, что такая форма записи предполагает выписывание всех положительных целых чисел — в точности как в начале наших действий с решетом Эратосфена (с тем только исключением, что на сей раз включена 1).

Сделаем такое: умножим обе части равенства на

. Получим

где мы пользовались 7-м правилом действий со степенями (которое говорит, например, что 2 ^s умножить на 7 ^s равно 14 ^s ). А теперь вычтем второе из этих выражений из первого. В одну из левых частей входит (s)с множителем 1, а в другую — та же (s)с множителем

. Вычитая, получаем