Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
Шрифт:
Таблица 7.1.Производные функций x N.
Конечно, x 0— это просто единица, а график этой функции — горизонтальная прямая. У нее нет наклона — точнее, нулевой наклон. Дифференцирование любого фиксированного числа дает нуль. А x 1— это просто x, график же представляет собой прямую, идущую по диагонали вверх и покидающую рисунок через правый верхний угол. Наклон ее повсюду равен 1. Заметим, что нет такой степенной функции, производная которой была бы равна x – 1, хотя x 0вроде бы стоит на правильном месте, чтобы дать такую производную. Это неудивительно, поскольку мы уже знаем,
Вы, должно быть, помните мои слова о том, что математики обожают все обращать. Если задано выражение Pчерез Q, то как выразить Qчерез P? Именно так мы исходно и получили логарифмическую функцию — как обращение показательной функции. Если a = e b, тот как найти bчерез a? Как ln а.
Так вот, предположим, что мы продифференцировали функцию fи получили функцию g.То есть gпредставляет собой производную функции f.А fпредставляет собой… (что именно?!) функции g? В чем состоит обращение дифференцирования? Производная ln x— это 1/ x, так что ln x— это… (что?) функции 1/ x? Ответ: интеграл,вот что. Обращение производной — это интеграл, а обращение дифференцирования — это интегрирование. Поскольку вся эта деятельность прозрачна для умножения на фиксированное число, переворачивание таблицы 7.1 вверх ногами и некоторая ее «доводка» дадут нам обратную операцию, которая и представлена в таблице 7.2. И вообще, если только Nне равно -1, то интеграл от функции x Nравен x N+1 /(N + 1 ).(Взгляд на таблицу еще раз показывает, как функция ln xизо всех сил старается вести себя как функция x 0, каковой она, конечно, не является).
| Функция | Интеграл |
|---|---|
| x – 3 | – 1/ 2 x – 2 |
| x – 2 | – x – 1 |
| x – 1 | ln x |
| x 0 | x |
| x 1 | 1/ 2 x 2 |
| x 2 | 1/ 3 x 3 |
| x 3 | 1/ 4 x 4 |
Таблица 7.2.Интегралы функций x N.
Если производные годятся для того, чтобы выражать наклон функции — т.е. скорость, с которой функция изменяется в
Рисунок 7.3.Для чего пригодно интегрирование.
Функция, показанная на рисунке 7.3, а это в действительности функция 1/ x 4, т.е., другими словами, x – 4, — ограничивает собой некоторую площадь между аргументами x = 2 и x = 3. Чтобы найти эту площадь, сначала надо найти интеграл от x – 4. Согласно приведенному выше общему правилу, этот интеграл равен - 1/ 3 x – 3, т.е.
– 1/(3 x 3). Эта функция, как и всякая другая, имеет значение для каждого xиз своей области определения. Чтобы найти площадь между аргументами 2 и 3, надо вычислить значение интеграла при аргументе 3, затем вычислить значение интеграла при аргументе 2, а потом вычесть второе значение из первого.
При x = 3 значение функции -1/(3 x 3) равно - 1/ 81, при x = 2 оно составляет - 1/ 24. Вычитаем, не забывая, что вычесть отрицательное число — это все равно что прибавить соответствующее положительное: - 1/ 81– (- 1/ 24) = 1/ 24– 1/ 81, что равно 19/ 648, т.е. примерно 0,029321.
У математиков есть специальный способ для записи всей этой процедуры:
Далее. Иногда оказывается возможным отправить правый конец интегрирования на бесконечность, но при этом получить конечную площадь. Это напоминает ситуацию с бесконечными суммами: если значения ведут себя должным образом, такие суммы могут сходиться к конечному значению. То же и здесь. У функций, которые ведут себя должным образом, площадь под кривой может оказаться конечной, несмотря даже на то, что область бесконечно длинная. Интегралы связаны с суммами на глубинном уровне. Даже знак интеграла, впервые использованный Лейбницем в 1675 году, представляет собой вытянутое S, обозначающее «сумму».
Смотрите: предположим, что вместо того, чтобы останавливаться на тройке, мы бы продолжили интегрирование до x = 100. Тогда, поскольку куб числа 100 равен 1 000 000, наше вычисление приобрело бы вид:
(- 1/ 3 000 000) - (- 1/ 24) = 1/ 24– 1/ 3 000 000.Ясно, что если бы мы пошли еще дальше, то второе слагаемое стало бы еще меньше. По мере того как мы спешим к бесконечности, оно постепенно угасает, стремясь к нулю, и у нас есть полное право написать:
Стоит заметить, что, когда интеграл используется для вычисления площади, xисчезает из ответа: вместо xподставляются числа и в ответе получается число.
Вот и все. Клянусь, это все, что нам понадобится из дифференциального и интегрального исчисления. И поскольку ничего нового вводиться не будет, пользоваться дифференциальным и интегральным исчислением мы начнем прямо сейчас. С их помощью мы определим новую функцию, которая чрезвычайно важна в теории простых чисел и дзета-функции.