Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
Шрифт:
Здесь на самом деле происходит несколько вещей сразу, и важно четко их разделять.
Во-первых, не следует смешивать а) высоту вдоль критической прямойи б) число нулей. «Высота» означает просто мнимую часть комплексного числа: высота числа 3 + 7 iравна 7. При рассмотрении нулей дзета-функции принято обозначать высоту буквой tили T. (Поскольку мы знаем, что нули симметричны относительно вещественной оси, мы интересуемся только положительными t). Имеется формула для числа нулей вплоть до высоты T:
N(T) = T/ 2•ln ( T/ 2) – T/ 2+ (ln T)Это на самом деле очень хорошая формула (первые два слагаемых в ней принадлежат Риману): она дает превосходное приближение уже для достаточно малых значений T.
147
Из нашего обсуждения большого мы помним, что оно включает в себя некоторый постоянный множитель. Так, (ln T) означает, что «этот член никогда не превосходит некоторого постоянного кратного величины ln T». Характеристика формулы как «очень хорошая» означает, что этот постоянный множитель мал. В данном случае он меньше чем 0,14.
Далее, имеется путаница по поводу того, что именно вычисляется. Не предполагается, что Веденивски способен предъявить все 100 миллиардов этих нулей, вычисленных с высокой (или даже со средней) точностью. Цель подобных исследований состоит главным образом в подтверждении Гипотезы Римана, а это можно сделать, не прибегая к высокоточным вычислениям нулей. Имеются некоторые теоретические построения, позволяющие вычислить, сколько нулей имеется в критической полосе между высотами T 1и T 2— т.е. внутри прямоугольника, верхняя и нижняя стороны которого задаются числами T 1и T 2, отложенными вдоль мнимой оси, а левая и правая сторона — числами 0 и 1 на вещественной оси, как показано на рисунке 16.1. Имеется и другое теоретическое построение, которое позволяет вычислить, сколько нулей расположено на критической прямой между данными высотами. [148] Если два вычисления дают один и тот же результат, то можно считать, что вы тем самым подтвердили Гипотезу Римана в данном интервале. Это можно сделать, имея лишь грубое знание о том, где на самом деле расположены нули. Большая часть таблицы 16.1 относится к работе такого сорта.
148
Соответствующая теория имеет дело с нулями, расположенными в точности (в математическом смысле) на критической прямой. Это важно для понимания логики происходящего. Теория A говорит вам: «Имеется nнулей в прямоугольнике от T 1до T 2» (рис. 16.1). Теория B говорит: «Имеется mнулей на критической прямой от T 1до T 2». Если окажется, что m = n,то, значит, мы проверили Гипотезу Римана между T 1и T 2, если же mменьше, чем n, то мы опровергли Гипотезу! (Ясно, что ситуация, когда mбольше n,логически невозможна.) Теория B имеет дело с тем, что происходит на критической прямой. Рассматриваемые там нули не могут иметь вещественных частей 0,4999999999 или 0,5000000001. Это замечание полезно сравнить с другим замечанием на эту тему, сделанным в главе 12.vii.
Рисунок 16.1.Высоты T 1и Т 2на критической полосе.
А как обстоит дело с табулированием точных положений нулей? Оказывается, помимо того, что делалось в связи с проверкой Гипотезы Римана, в этой задаче сделано на удивление мало. Насколько мне вообще известно, первые сколько-нибудь длинные таблицы такого рода были опубликованы Брайаном Хейзелгровом. В 1960 году, работая на мощных компьютерах второго поколения в университетах Кембриджа и Манчестера в Англии, Хейзелгров с сотрудниками затабулировали первые 1600 нулей с точностью до шести знаков после запятой и опубликовали эту таблицу. Эндрю Одлыжко сообщил мне, что, когда он в конце 1970-х годов начинал исследования нулей дзета-функции, таблицы Хейзелгрова были единственными известными ему данными такого рода, хотя он и думает, что Леман в ходе своей работы в 1966 году мог в действительности с высокой точностью вычислить большее количество нулей. У самого Эндрю есть таблица (на диске компьютера, а не в печатном варианте) первых двух миллионов нулей с точностью до девяти знаков после запятой. На момент написания этой книги это наибольшая из известных таблиц нулей.
Вся описанная выше деятельность относится к первым Nнулям. Кроме этого, Эндрю Одлыжко совершил несколько «прыжков» вверх с целью исследовать небольшие изолированные отрезки на очень больших высотах. Он опубликовал результат вычисления самого высокорасположенного нетривиального нуля дзета-функции из известных на данный момент — это 10 000 000 000 000 000 010 000-й нуль. С точностью до пяти знаков после запятой в мнимой части он расположен в точке 1/ 2+ 1 370 919 909 931 995 309 568,33539 i. Эндрю вычислил и первые 100 нулей с точностью до тысячи знаков после запятой. [149] Первый нуль начинается как (имеется в виду, конечно, мнимая часть):
149
Похоже,
За таблицей 16.1 скрываются разнообразные истории. Фигурирующий там А.М. Тьюринг, например, — это тот самый Алан Тьюринг, который работал в области математической логики, разработав идею теста Тьюринга (способ решить, обладает ли компьютер или программа интеллектом) и машину Тьюринга (идеализированный компьютер, некий вариант мысленного эксперимента, позволяющий решать определенные задачи в математической логике). Имеется Премия Тьюринга, которую начиная с 1966 года ежегодно присуждает Ассоциация вычислительной техники за достижения в области программирования и прикладной математики, — аналог Филдсовской медали по математике или же Нобелевской премии в других науках. [150]
150
Инициатором присуждения Филдсовской медали, впервые врученной в 1936 г., является канадский математик Джон Чарльз Филдс (1863-1932). В настоящее время она присуждается раз в четыре года и ставит своей главной целью отметить выдающихся молодых математиков. Поэтому она присуждается только тем, кому не исполнилось 40 лет. Некоторые из математиков, упомянутых в данной книге, являются лауреатами Филдсовской медали: это Сельберг (1950), Жан-Пьер Серр (1954), Пьер Делинь (1978), Ален Конн (1982). Эта медаль высоко ценится среди математиков. Если вы филдсовский медалист, то каждый математик знает об этом и упоминает ваше имя с глубоким уважением. (Филдсовским лауреатом является и упомянутый во вступлении Энрико Бомбьери (1974). Лауреатами последних лет стали: 1990 — В. Дринфельд (СССР), В.Ф.Р. Джоунс (Новая Зеландия), Ш. Мори (Япония), Э. Виттен (США); 1994 — Ж. Бурген (Бельгия), П.-Л. Лион (Франция), Ж.-К. Йоккоз (Франция), Е. Зельманов (Россия); 1998 — Р. Борхердс (Великобритания), В.Т. Говерс (Великобритания), М. Концевич (Россия), К.Т. Макмаллен (США), Э. Уайлс (Великобритания, серебряная медаль); 2002 — Л. Лаффорг (Франция), В. Воеводский (Россия); 2006 — А. Окуньков (Россия), Г. Перельман (Россия, отказался от премии), Т. Тао Австралия), В. Вернер (Франция). — Примеч. перев.)
Тьюринг был зачарован Гипотезой Римана. К 1937 году (когда ему было 26 лет) он составил мнение, что Гипотеза не верна, и вынашивал идею построения механического вычислительного устройства, которое позволило бы найти контрпример — нуль вне критической прямой. Он подал заявку на грант в Королевское общество с тем, чтобы покрыть расходы на создание этого устройства, и даже сам выточил несколько зубчатых колес на инженерном факультете Кингс-колледжа в Кембридже, где он тогда преподавал.
Работа Тьюринга по созданию «дзета-функциональной машины» резко прервалась в 1939 году, когда разразилась Вторая мировая война. Он перешел работать в Британскую школу кодов и шифров [151] в Блетчли-Парк и провел там все годы войны, посвятив себя раскрытию немецких военных шифров. Однако некоторые из зубчатых колес сохранились — они остались среди его вещей после смерти ученого, последовавшей (как считается, в результате самоубийства) 7 июня 1954 года.
151
Британская школа кодов и шифров— секретный шифроаналитический центр правительства Великобритании. (Примеч. перев.)
При том, насколько печальной и необычной была смерть Тьюринга (он съел яблоко, в которое сам ввел цианистый калий), он снискал себе посмертную славу стараниями биографов. Эндрю Ходжес написал о нем замечательную книгу («Алан Тьюринг: Энигма», 1983), а Хью Уайтмор сделал по ней чрезвычайно интересную пьесу («Разгадка шифра», 1986).
У меня нет возможности вдаваться глубже в подробности жизни Тьюринга. Я отсылаю читателя к биографии, написанной Ходжесом, из которой процитирую только следующее:
15 марта [1952 года] он направил для публикации работу по вычислению дзета-функции, несмотря на то что предпринятая ранее практическая попытка такого вычисления на прототипе компьютера в Манчестерском университете оказалась неудовлетворительной. Возможно, он просто хотел закончить с этим делом на тот случай, если ему придется отправиться в тюрьму.
31 марта 1952 года Тьюринг предстал перед судом по 12 обвинениям в «крайне непристойном поведении», поскольку в то время в Британии гомосексуальные акты по взаимному согласию были уголовно наказуемы. В конечном итоге он не попал в тюрьму: его признали виновным, однако дали условный срок с оговоркой, что он согласится на медицинское вмешательство. «В Британии 1952 года не было, — пишет Ходжес, — понятия о праве на сексуальное самовыражение».
Есть и другие истории. Эдвард Титчмарш — ученик Харди (кстати, учеником Харди был и Тьюринг) — получил свои 1041 нулей [152] , используя для этого работающие с перфокартами машины, арендованные у Британского адмиралтейства, где с их помощью составляли таблицы приливов. На основании этих результатов Титчмарш написал классический математический текст по дзета-функции. [153] {A7} Разумеется, с появлением электронных компьютеров после Второй мировой войны вся эта «механическая» вычислительная деятельность подошла к своему концу.
152
Не 104, как говорит Ходжес.
153
«Теория дзета-функции Римана» (1951). Ее все еще можно купить. ( Титчмарш Э.Ч.Дзета-функция Римана. Пер. с англ. Москва. 1947. — Примеч. перев.)