Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
Шрифт:
Ошибкой было бы считать (как это порой делают начинающие), что конечные поля представляют собой просто переформулировку арифметики циферблата, описанной в главе 6.viii. Это верно только для полей, содержащих простое число элементов. А вот арифметика других конечных полей устроена более тонко. На рисунке 17.1, например, представлена арифметика циферблата — сложение и умножение — для циферблата с четырьмя отметками (т.е. 0, 1, 2 и 3). Эта система чисел и правил интересна и полезна, но она не является полем, поскольку нельзя разделить 1 ни на 3, ни на 2. (Если бы можно было разделить 1 на 2, то уравнение 1 = 2x xимело бы решение. А у него решения нет.) Математики называют это кольцом, что не лишено основания, коль скоро речь идет о циферблате. В кольце можно складывать, вычитать и умножать, но не всегда можно делить.
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | x | 0 | 1 | 2 | 3 | |
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 0 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | |
| 2 | 2 | 3 | 0 | 1 | 2 | 0 | 2 | 0 | 2 | |
| 3 | 3 | 0 | 1 | 2 | 3 | 0 | 3 | 2 | 1 |
Рисунок 17.1.Сложение
Конкретное кольцо, показанное на рисунке 17.1, имеет официальное обозначение Z/4 Z. Должен сознаться, что мне такое обозначение никогда не нравилось, так что на правах автора я изобрету для него свое собственное обозначение: CLOCK 4. [158] {4} Ясно, что можно построить такое кольцо для любого натурального числа N.В моих обозначениях оно будет называться CLOCK N .
158
Clock (англ). — часы. (Примеч. перев.)
Но поле F Nможно построить не для любого числа N, а только для простых чисел и их степеней. Для простого числа pсамого по себе поле F pвыглядит в точности как CLOCK p — та же таблица сложения, та же таблица умножения. Однако для степени простого числа ситуация усложняется. На рисунке 17.2 показаны сложение и умножение (откуда, конечно, извлекаются вычитание и деление) в поле F 4. Видно, что F 4отличается от CLOCK 4.
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | x | 0 | 1 | 2 | 3 | |
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | 1 | 0 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | |
| 2 | 2 | 3 | 0 | 1 | 2 | 0 | 2 | 3 | 1 | |
| 3 | 3 | 2 | 1 | 0 | 3 | 0 | 3 | 1 | 2 |
Рисунок 17.2.Сложение и умножение в конечном поле F 4.
Всякое
Поскольку мы имеем дело с алгеброй, элементы полей не обязаны быть числами. Алгебра позволяет работать с математическими объектами любого типа. Рассмотрим все многочлены (полиномиальные функции) любой заданной степени, т.е. все выражения вида ax n+ bx n-1+ cx n-2+ …, где a, b, cи т.д. — целые числа. Теперь образуем множество всех рациональных функций, другими словами, функций, являющихся отношением (ratio)двух многочленов. Получим поле. Приведем пример сложения в этом поле:
(Примерно этим и занимаются на уроках алгебры в старших классах.)
Коэффициенты многочленов не обязаны быть целыми. На самом деле можно позабавиться, сделав их элементами из конечного поля, такого как рассмотренное выше поле F 2. В качестве примера сложения, которое при этом получается, имеем
(При проверке этого равенства надо помнить, что в поле F 2выполнено 1 + 1 = 0, а потому x + x = 0, x 2 – x 2 = 0 и т.д.) Это поле будет называться полем рациональных функций над F 2. В нем, разумеется, бесконечно много элементов; лишь коэффициенты ограничены своей принадлежностью к конечному полю. Таким образом, можно использовать конечное поле для построения бесконечного. Заметим еще, что, поскольку 1 + 1 = 0, это поле имеет характеристику 2. Следовательно, и бесконечные поля могут иметь конечную характеристику.
Не имеет особого смысла спрашивать, что собой представляет xв последних двух примерах. Это символ, для манипуляций с которым у нас имеются строго определенные правила. С алгебраической точки зрения главное в этом и состоит. На самом деле почти наверняка ответ на данный вопрос звучит как « xпредставляет собой число». Однако алгебраисты куда больше интересуются тем, какого типа это число — каким семействам, каким группам, каким полям оно принадлежит и какие правила манипуляций с ним выполнены. Для аналитика же наше число а + b2 не слишком интересно. «Это просто вещественное число», — скажет аналитик. — «Ладно, алгебраическое число» (см. главу 11.ii), — если на него надавить. Но для алгебраиста, однако, оно представляет особый интерес постольку, поскольку относится к некоторому полю. Вообще алгебраисты и аналитики рассматривают не столько разные вещи, сколько аспекты одной и той же вещи. [159] {A8}
159
Попытаюсь выразить это в афористичной форме: алгебраистов заботит не столько то, чем являются вещи, сколько то, что с ними можно делать. Они — «отглагольные», а не «отсуществительные» люди. Другой интересный концептуальный взгляд на алгебру предложил сэр Майкл Атья в своей лекции в Филдсовском институте в Торонто в июне 2000 г. Тогда как геометрия с очевидностью имеет дело с пространством (говорил сэр Майкл, лауреат Филдсовской премии), алгебраисты имеют дело с временем. «Геометрия по существу статична. Я могу просто сидеть здесь и наблюдать, при этом может ничего не меняться, но это не мешает мне наблюдать. Алгебра, однако, имеет дело с временем, потому что там имеются операции, которые надлежит выполнять последовательно.» ( Шенитцер А., Атья М.Ф.Математика в двадцатом столетии. American Mathematical Monthly.Vol. 108. № 7.)
Краткий взгляд на размах, мощь и красоту теории алгебраических полей — это все, на что нам здесь хватает места, хотя мы и вернемся ненадолго к полям, рассмотрев их под другим углом зрения в главе 20.v. Я привел здесь этот краткий обзор алгебраических сведений, потому что в 1921 году Артин в своей диссертации, которую он защищал в Лейпцигском университете, применил теорию полей для развития нового подхода к Гипотезе Римана. Соответствующий математический аппарат достаточно серьезен, и я расскажу о нем лишь очень бегло.