Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
Шрифт:
На рисунке 15.3 приведен пример функции, которая есть ( x•ln x). Там показаны: 1) кривая x•ln x(верхняя половина отдаленно напоминающей параболу кривой), 2) зеркально отраженная кривая – x•ln x(нижняя половина) и 3) придуманная для иллюстрации и ничего особенно не выражающая функция, которая есть ( x•ln x). Буква m обозначает миллион, ведь вещи подобного рода интересны только для больших аргументов. Стоит отметить, что "функция Дербишира" в действительности на некоторое время вырывается за пределы ограничивающих ее кривых при аргументах, равных примерно 200 миллионам. Это не страшно, поскольку больше она никогда такого не делает.Начиная с некоторой точки — и навсегда после нее — функция остается в пределах границ. Верьте мне, что она там остается, хотя по понятным причинам я и не могу показать вам всю функцию до бесконечности. большое принимает во внимание исключения из правил при малых аргументах (а такие исключения — общее место в теории чисел, взять хотя бы утверждение «все
Рисунок 15.3.Функция Дербишира есть ( x•ln x).
Можно заметить еще, что, поскольку большое не принимает во внимание множители, масштаб по вертикали совершенно произволен. Важны лишь конфигурация — форма ограничивающих кривых — и тот факт, что начиная с какого-то места наша функция навсегда заключена между ними.
Результат фон Коха 1901 года [135] — а именно утверждение, что, если Гипотеза Римана верна, то (x)= Li (x)+ ( x•ln x), — один из первых примеров определенного типа результатов, которыми сейчас полна теория чисел, — результатов, которые начинаются словами «Если Гипотеза Римана верна, то…». Если окажется, что Гипотеза Римана не верна, то немалую часть теории чисел придется переписывать.
135
Или не зная о книге Бахманна, или же (что более вероятно) просто решив не использовать новое обозначение с большим, фон Кох на самом деле выразил свои результат в более традиционном виде:
| f(x) -Li (x)| < K• x•ln x.А есть ли какой-нибудь результат типа большого для остаточного члена Li (x) - (x), который не зависел бы от справедливости Гипотезы Римана? О да. Среди специалистов по аналитической теории чисел долгие годы любимым спортом был поиск все лучших и лучших формул типа большого для остаточного члена. Но ни один не может сравниться с ( x•ln x). Это абсолютно лучшее, наиболее точное ограничение на остаточный член, известное к настоящему моменту. Правда, раз оно зависит от справедливости Гипотезы, мы не можем быть полностью уверены, что оно верно. Все те оценки остаточного члена, в справедливости которых мы уверены, менее точны, чем эта. Соответствующая параболическая кривая на рисунке 15.3 несколько шире, причем различие делается все более заметным по мере того, как xуходит на бесконечность. Если же Гипотеза Римана верна, то среди всех известных оценок остаточного члена выражение ( x•ln x) является наилучшим возможным — наиболее точной формулой типа большого. Оно же и простейшее. При этом все формулы, которые были доказаны без предположения о справедливости Гипотезы, выглядят достаточно уродливо. Вот наилучшая из тех, что известны мне на данный момент:
где С— некоторое постоянное число. Ни одна из других подобных формул на вид не проще этой.
Сравним результат фон Коха 1901 года с выделенными курсивом словами в восьмой проблеме Гильберта, приведенной в главе 12.ii. Гильберт перекликался с Риманом, написавшим в своей работе 1859 года, что приближение функции (x)функцией Li (x)«верно только по порядку величины x 1/2». Ну а xесть, конечно, попросту x 1/2. Более того, в главе 5.iv мы видели, что ln xрастет медленнее, чем любая положительная степень x, даже самая ничтожно малая. Это можно выразить в терминах большого таким образом: для любого сколь угодно малого числа выполнено ln x = (x ). А следовательно (это, правда, не сразу очевидно, но в действительности несложно доказать), можно подставить x вместо ln xв выражение ( x•ln x); а поскольку x— это просто x 1/2, можно сложить степени и получить ( x 1/2+ ). Таким путем получается довольно распространенный вид результата фон Коха: (x)= Li (x)+ ( x 1/2+ ). Символ настолько часто используется для исчезающе малых чисел, что слова «… для любого сколь угодно малого » здесь подразумеваются.
Заметим, однако, что, делая эту подстановку, мы слегка ослабили результат фон Коха. Из того, что «остаточный член есть ( x•ln x)», следует, что «остаточный член есть ( x 1/2+ )», но обратное неверно. Эти два утверждения не являются точно эквивалентными. Такое происходит, потому что, как мы видели в главе 5.iv, не только ln xрастет медленнее, чем любая
Однако запись результата фон Коха в этом слегка ослабленном виде ( x 1/2+ ) хороша тем, что наводит на размышления. Риман был почти прав в том же смысле, в каком логарифмическая функция есть почти x 0; порядок величины есть не х 1/2, а x 1/2+ . Если учесть, какие средства имелись у него в наличии, каким было общее состояние знания в данной области и какие численные данные были доступны в то время, то риманово x 1/2все равно должно считаться прозрением потрясающей глубины. [136]
136
В этой области ведется немало исследований. Весьма вероятно, что на самом деле (x)= Li (x)+ ( x), что, возможно, и имел в виду Риман в своем замечании насчет «порядка величины». Однако мы ни в какой мере не близки к доказательству этого факта. Некоторые исследователи, между прочим, предпочитают обозначение ( x 1/2+ ), чтобы подчеркнуть, что постоянная, подразумеваемая в определении Обольшого, зависит от . Если использовать это обозначение, то логика раздела 15.iii слегка изменяется. Заметим, что квадратный корень из Nпримерно в два раза короче (я имею в виду, что он содержит примерно в два раза меньше цифр), чем N.Отсюда следует (хотя я и не буду останавливаться ради подробного доказательства), что Li – 1( N) дает для N-го простого числа правильный результат примерно до половины длины (примерно первая половина цифр оказывается правильной). Выражение Li – 1( N) здесь надо понимать в смысле обратной функции, как в главе 13.ix, следующим образом: «число К, для которого Li( K) = N». Миллиардное простое, например, есть 22 801 763 489, a Li – 1(1 000 000 000) равно 22 801 627 415, где мы видим пять, почти шесть правильных цифр из одиннадцати.
Вводя большое, я начал с истории, так что сейчас, прощаясь с ним, расскажу еще одну. Суть ее в том, что математики, как и другие специалисты, иногда любят напустить туману, чтобы отпугнуть и смутить профанов.
На конференции в Курантовском институте летом 2002 года (см. главу 22) я разговаривал по поводу своей книги с Питером Сарнаком. Питер — профессор математики в Принстонском университете и специалист по теории чисел. Я упомянул, что пытаюсь придумать, как объяснить большое тем читателям, кто с ним незнаком. «О, — сказал Питер, — вам надо бы поговорить с моим коллегой Ником (т.е. Николасом Кацем — он тоже профессор в Принстоне, но занимается в основном алгебраической геометрией). Ник ненавидит большое. Никогда его не использует». Я это проглотил, но взял на заметку, рассчитывая, что смогу придумать, как это использовать в книге. В тот же вечер мне случилось разговаривать с Эндрю Уайлсом, который очень хорошо знает и Сарнака, и Каца. Я упомянул нелюбовь Каца к большому. «Чепуха, — сказал Уайлс, — они просто над вами потешаются. Да Ник все время его использует». И будьте уверены, Кац использовал его в лекции на следующий же день. Своеобразное чувство юмора у математиков.
Оставим большое. Теперь перед нами функция Мебиуса. Есть несколько способов ввести функцию Мебиуса. Подойдем к ней со стороны Золотого Ключа.
Возьмем Золотой Ключ и перевернем его вверх ногами, т.е. возьмем обратную величину к каждой стороне равенства в выражении (7.2) . Очевидно, если A = Bи при этом ни A,ни Bне равны нулю, то 1 /A =1 /B.Получаем (15.1)
Теперь раскроем скобки в правой части. На первый взгляд, это сильно сказано: как-никак, сомножителей в скобках бесконечно много. На самом деле процедура требует несколько большего внимания и обоснования, чем мы можем здесь ей уделить, но в конце концов мы получим полезный и верный результат, так что в данном случае цель оправдывает средства.
Раскрытие скобок все мы изучали в курсе элементарной алгебры. Чтобы перемножить (а + b)(p + q), сначала умножаем aна (p + q),что дает ар + aq.Затем умножаем bна (p + q),что дает bp + bq.А потом, поскольку в скобках у нас aплюс b, мы складываем вместе то, что получилось, и окончательный ответ имеет вид ap + aq + bp + bq. Если надо перемножить три скобки (а + b)(p + q)(u + v),то повторение этих действий дает apu+ aqu + bpu + bqu + apv + aqv + bpv + bqv.Перемножение четырех скобок (а + b)(p + q)(u + v)(x + у)дает