Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
Шрифт:
И еще одна корректировка. При постепенном приближении к аргументу xв пределах некоторого интервала значений функция (x)внезапно совершает прыжки. Пусть, например, xпостепенно переходит от числа 10 к числу 12. Число простых чисел, не превышающих 10, равно 4 (это 2, 3, 5 и 7), так что значение функции равно 4, когда x = 10 и, равным образом, разумеется, когда x = 10,1, 10,2, 10,3 и т.д. Но при аргументе 11 это значение внезапно совершает прыжок к 5; и для 11,1, 11,2, 11,3, … оно твердо стоит на 5. Математики называют такое «ступенчатой функцией». И здесь нам потребуется корректировка, которую используют довольно часто, когда имеют дело со ступенчатыми функциями. Ровно в той точке, где (x)совершает прыжок, присвоим ей значение, лежащее посередине между
Теперь можно, наконец, продемонстрировать график функции (x)(рис. 19.1). К ступенчатым функциям не сразу привыкаешь, но с математической точки зрения они представляют собой совершенно нормальное явление. Область определения у нас сейчас — все неотрицательные числа. В этой области определения для каждого аргумента имеется единственное значение нашей функции. Дайте мне аргумент, и я скажу вам значение. В математике бывают функции и покруче.
Рисунок 19.1.Функция, считающая простые числа.
Теперь введем другую функцию — также ступенчатую, но при этом слегка более хитрую, чем (x). В статье 1859 года Риман называет ее просто «функция f», но мы вслед за Хэролдом Эдвардсом будем называть ее «функцией J». Со времен Римана математики привыкли использовать fдля обозначения функции вообще: «Пусть f— произвольная функция…» — так что они могут слегка напрячься, увидев fв роли некоторой конкретной функции.
Итак, определим функцию J.Для любого неотрицательного числа xзначение функции Jравно
J(x) = (x) + 1/ 2 ( x) + 1/ 3 ( 3x ) + 1/ 4 ( 4x )+ 1/ 5 ( 5x ) +…. (19.1)Здесь « » обозначает функцию числа простых чисел именно в том виде, как выше мы ее определили для любого вещественного числа x.
Заметим, что приведенная сумма — небесконечная. Чтобы убедиться в этом, возьмем любое фиксированное число x, скажем, x = 100. Квадратный корень из 100 равен 10; кубический корень равен 4,641588…; корень четвертой степени равен 3,162277…; корень пятой степени 2,511886…; корень шестой степени 2,154434…; корень седьмой степени 1,930697…; корень восьмой степени 1,778279…; корень девятой степени 1,668100… и корень десятой степени равен 1,584893…. Можно было бы, конечно, вычислить и корни одиннадцатой, двенадцатой, тринадцатой степени и т.д., сколько вам заблагорассудится, но в этом нет необходимости, потому что функция числа простых чисел обладает таким очень приятным свойством: если xменьше 2, то (x)равна нулю — просто потому, что нет никаких простых чисел, меньших 2! Таким образом, при вычислении корней из 100 можно было на самом деле остановиться после корня седьмой степени. Вот что мы в результате имеем:
J(100) = (100) + 1/ 2 (10) + 1/ 3 (4,64…) + 1/ 4 (3,16…) + 1/ 5 (2,51…) + 1/ 6 (2,15…) + 0 + 0 + …,и
что дает 28 8/ 15или 28,53333…. При извлечении корней из любого числа рано или поздно значения падают ниже 2, и начиная с этого места все члены в выражении для функции Jравны нулю. Поэтому для любого аргумента xзначение функции J(x)можно получить, вычисляя конечнуюсумму — существенное улучшение по сравнению с некоторыми из функций, что нам встречались!
Как уже говорилось, функция Jступенчатая. На рисунке 19.2 показано, как она выглядит при аргументах до 10. Как видно, функция Jсовершает прыжок от одного значения к другому, остается на новом значении на некоторое время, потом совершает новый прыжок. Что это за прыжки? Какой закон за ними стоит?
Рисунок 19.2.Функция J(x).
Вглядевшись очень внимательно в выражение (19.1) , мы увидим следующую закономерность. Во-первых, когда x— простое число, функция J(x)совершает прыжок на высоту 1, потому что (x)— число простых чисел, не превышающих x, — при этом увеличивается на 1. Во-вторых, когда xявляется точным квадратом простого числа (например, x = 9, что есть квадрат числа 3), J(x)совершает прыжок на одну вторую, потому что квадратный корень из xесть простое число, а значит, (x)возрастает на 1. В-третьих, когда xесть точный куб простого числа (например, x = 8, что есть куб числа 2), J(x)совершает прыжок на одну треть, потому что кубичный корень из xравен простому числу, а значит, ( 3 x)возрастает на 1, и т.д.
Попутно заметим, что функция Jобладает тем же свойством, которым мы снабдили функцию (x): в точке, где реально происходит прыжок, она принимает значение, лежащее посередине между теми значениями, от которого и до которого она прыгает.
Для полноты представления функции Jна рисунке 19.3 изображен график J(x)при аргументах до 100. Самый маленький прыжок здесь совершается при x = 64 — это число представляет собой шестую степень (64 = 2 6), так что функция Jпрыгает при x = 64 на одну шестую.
Рисунок 19.3.Еще о функции J(x).
Какую пользу может принести подобная функция? Терпение, терпение. Сначала придется совершить один из тех логических скачков, о которых я предупреждал в начале главы.
Напоминаю в который уже раз, что у математиков есть масса способов обращать соотношения. Дали нам выражение для Pчерез Q— отлично, посмотрим, не найдется ли способа выразить Qчерез P. В течение столетий в математике был развит целый инструментарий для того, чтобы совершать обращения, — он включает набор приемов для использования в самых разных условиях и обстоятельствах. Один из таких приемов носит название мебиусова обращения, и оно-то нам сейчас и нужно.