Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Дербишир Джон

Я сделал эту работу еще будучи аспирантом. Я уже подготовил текст диссертации, но еще не защитился. В начале работы я не понимал, что все это означает. У меня было такое чувство, что здесь нечто скрывается, но я не знал, что именно, и это меня сильно тревожило.

Той весной 1972 года Хэролд Даймонд [166] организовал конференцию по аналитической теории чисел в Сент-Луисе. Я поехал на эту конференцию и сделал там доклад, а потом полетел в Энн-Арбор. К тому моменту я принял приглашение на работу в Энн-Арбор и собирался купить там дом. И действительно купил. Затем, на обратном пути в Англию, я остановился в Принстоне с целью поговорить с Атле [Сельбергом] о своей работе. Я побаивался, что, показав ему свои результаты, услышу в ответ: «Неплохо, Хью, но я доказал все это много лет назад». С моей души упал камень, когда он ничего такого не сказал. Он выказал некоторый интерес, но в целом достаточно поверхностный.

В тот же день вечером мы вместе с Чоула [167] отправились на чай в Фалд-Холл. Посреди комнаты я увидел Фримена Дайсона. Предыдущий год я провел в Институте и прекрасно знал Дайсона в лицо, однако никогда

с ним не разговаривал. Чоула спросил: «Вы знакомы с Дайсоном?» Я ответил, что не знаком. Он сказал: «Давайте я вас представлю». Я сказал, что не надо, я как-то не настроен знакомиться с Дайсоном. Но Чоула не отставал и в конце концов поволок меня через всю комнату, чтобы представить Дайсону. Дайсон был очень вежлив и спросил меня, чем я занимаюсь. Я ответил, что изучаю разности между нетривиальными нулями дзета-функции Римана и что у меня есть гипотеза, что в выражении для функции распределения этих разностей под интегралом стоит 1 - ( ^{sin u}/ _u ) ². Он очень оживился и сказал: «Это же формфактор для парных корреляций собственных значений случайных эрмитовых матриц!»

До этого я и не слышал о «парных корреляциях». Оказалось, что именно они являются недостающим связующим звеном. На следующий день Атле передал мне записку Дайсона со ссылкой на книгу Мехты [168] и с указанием на то, какие именно места мне надо посмотреть, и т.д. Этот разговор с Дайсоном остался нашим единственным разговором, и его письмо ко мне также было ровно одно. Но и этого оказалось немало. Я полагаю, что к сегодняшнему дню эту связь все равно удалось бы как-нибудь найти, но, без сомнения, было крупным везением, что она нашлась так быстро, потому что, когда я писал статью в выпускаемый по итогам конференции сборник, я уже был в состоянии использовать соответствующую терминологию, привести ссылки и дать интерпретацию. Забавно, что несколько лет спустя Дайсон опубликовал статью под заглавием «Упущенные возможности». Наверняка имеется масса упущенных возможностей, но моя история представляет собой контрпример. Поистине потрясающее стечение обстоятельств привело к нашей встрече в самый решительный момент.

166

Хэролд Даймонд —специалист по теории чисел. В настоящее время — профессор математики в Университете Иллинойса в Урбана-Шампейн.

167

Сарвадаман Чоула(1907-1995) — превосходный специалист по теории чисел, в основном работавший в Колорадском университете.

168

Стандартное введение в теорию случайных матриц: Мадан Лал Мехта.Случайные матрицы и статистическая теория энергетических уровней. New York: Academic Press. 1991.

Нетрудно понять, почему Фримен Дайсон так оживился. Выражение, упомянутое Хью Монтгомери, — выражение, которое возникло из исследований нетривиальных нулей дзета-функции Римана, — оказалось в точности формфактором, связанным с эрмитовыми матрицами, т.е. с объектом, которым Дайсон занимался в течение нескольких лет до этого в ходе исследования квантовых динамических систем. (И Монтгомери даже преуменьшил степень чудесного везения, благодаря которому произошла их встреча. Хотя Дайсон приобрел известность как физик, свою первую ученую степень он получил по математике, причем первой областью его интересов была теория чисел. Если бы не эта его предыстория, то он не смог бы оценить сообщение Монтгомери. [169] )

169

Дайсон — еще один человек из Тринити, учившийся в этом колледже в начале 1940-х гг. По его воспоминаниям, состояние Харди, который в то время окончательно впал в депрессию, «было не слишком веселым».

Чтобы проиллюстрировать сказанное, возьмем все нетривиальные нули дзета-функции Римана до высоты 500 i— т.е. на критической прямой от ¹/ ₂до ¹/ ₂+ 500 i(на этих небольших высотах мы точно знаем, что Гипотеза Римана верна). В этом интервале имеется 269 нулей (именно поэтому на рисунках 18.2 и 18.3 выбрано число 269). Они показаны на рисунке 18.4: интервал, на котором они живут, разбит на 10 отрезков, которые расположены друг над другом аналогично тому, как мы это делали раньше. Сравнивая рисунок 18.4 с рисунками 18.2 и 18.3 , можно заметить, что он похож на рисунок 18.2 , но не на рисунок 18.3 .

Рисунок 18.4.Первые 269 значений t,где ¹/ ₂+ ti —нетривиальные нули дзета-функции.

При сравнении этих рисунков надо кое-что принять во внимание. Нулям дзета-функции на рисунке 18.4 требуется некоторое время для «разгона», и в соответствии с принципом, описанным в главе 13.viii, они группируются плотнее в более высоких областях вдоль критической прямой. Кроме того, собственные значения на рисунке 18.2 расположены несколько более свободно в начале и, соответственно, несколько более тесно в середине. Оба эффекта можно уменьшить, если взять большее количество нулей для большей матрицы, а также использовать нормировку (см. ниже). Даже с учетом этих искажений на основе приведенных рисунков довольно правдоподобными представляются следующие выводы.

• Ни нули дзета-функции, ни собственные значения не похожи на случайным образом разбросанные точки.

• Нули дзета-функции и собственные значения ведут себя похожим образом.

•

В частности, и для нулей дзета-функции, и для собственных значений наблюдается эффект отталкивания.

IV.

Статья Монтгомери об интервалах между нулями дзета-функции была опубликована в журнале Американского математического общества в 1973 году. Она начинается словами «На протяжении данной статьи мы принимаем справедливость Гипотезы Римана (ГР)…». В этом нет ничего особенного. К 1973 году множество математических статей состояли из теорем, в которых предполагалась справедливость Гипотезы. [170] На сегодняшний день число их выросло еще больше, и если ГР (как отныне я буду ее именовать, следуя Монтгомери и всем другим современным исследователям) окажется неверной, то вся эта структура обвалится. Правда если контрпримеров окажется немного, значительную часть удастся спасти.

170

Это поднимает интересный вопрос о том, в какой степени они могут являться «настоящими» теоремами. Некий результат, в котором предполагается справедливость ГР, с моей точки зрения, сам, строго говоря, является гипотезой — или, если угодно, подгипотезой, но уж никак не настоящей теоремой. С учетом того, что математика считается наиболее точной из всех наук, математики не слишком последовательны по поводу использования таких терминов, как «предположение», «гипотеза» и «теорема». Почему, например, Гипотеза Римана — «гипотеза», а не «предположение»? Я не знаю, и мне не удалось найти никого, кто мог бы мне это разъяснить. И на беглый взгляд кажется, что эти замечания применимы, по-видимому, и к другим языкам, а не только к английскому. По-немецки, кстати, Гипотеза Римана — Die Riemannsche Vermutung,от глагола vermuten —высказывать догадку. (Неудивительно. Древнегреческое слово «гипотеза» как раз и означает «предположение». — Примеч. перев.)

В работе Монтгомери 1973 года содержатся два результата. Первый — это теорема об общих статистических свойствах интервалов между нулями дзета-функции. В этой теореме предполагается справедливость ГР. Второй результат — гипотеза. Она утверждает, что парная корреляционная функция для этих интервалов именно такова, как Монтгомери описал ее в разговоре с Дайсоном. Важно понимать, что это гипотеза. Монтгомери не смог ее доказать даже в предположении о справедливости ГР. И никому другому тоже не удалось этого доказать.

Большая часть свойств нулей дзета-функции Римана, о которых пишут или рассказывают, как и большая часть идей, возникших за последние 30 лет, подобным же образом носят гипотетический характер. В этой области науки наблюдается явный дефицит твердых доказательств. Отчасти это вызвано тем, что после того, как Монтгомери выявил связь между нулями дзета-функции и собственными значениями, исследованиями ГР занялось много физиков и прикладных математиков. Сэр Майкл Берри [171] любит по этому поводу цитировать лауреата Нобелевской премии по физике Ричарда Фейнмана: «Известного куда больше, чем удается доказать». Отчасти же это происходит потому, что ГР представляет собой очень, очень упрямую проблему. ГР посвящено такое грандиозное количество литературы, что приходится все время напоминать себе, что на самом деле о нулях дзета-функции лишь очень мало известно наверняка и даже при всем всплеске интереса в течение нескольких последних лет математически неопровержимые результаты по-прежнему появляются лишь изредка, через длительные интервалы времени.

171

Майкл Берри— профессор физики в Бристольском университете в Англии. Возведен в рыцарское достоинство в июне 1996 г., став таким образом сэром Майклом Берри. Я очень старался упоминать его как Берри при описании его работ, сделанных до 1996 г., и как сэр Майкл после этого, но не гарантирую, что всегда был последователен.

V.

Институт высших исследований в Принстоне, Нью-Джерси, находится всего в 32 милях от исследовательского центра Белловских лабораторий компании AT&T в Мюррей-Хилл. В 1978 году Хью Монтгомери читал в Принстоне лекции по теме, которая в то время называлась «гипотеза Монтгомери о парных корреляциях». Среди присутствовавших был молодой исследователь Эндрю Одлыжко, работавший в одном из отделов AT&T. Как раз в тот момент они приобрели суперкомпьютер Cray-1. Исследователи с воодушевлением строили планы запуска на нем своих программ и готовились к знакомству с теми алгоритмами, которые отвечали его архитектуре.

Размышляя по поводу лекции Монтгомери, Одлыжко рассуждал следующим образом. Гипотеза Монтгомери утверждает, что интервалы между нулями дзета-функции подчиняются некоторому статистическому закону. Этот закон возникает также при исследовании определенного семейства квантовых динамических систем, которые отвечают модели ГУА. Статистические свойства этого семейства были предметом интенсивного изучения в течение ряда лет. Однако статистические свойства нулей дзета-функции исследовались совсем мало. Пользу могло бы принести восстановление баланса — т.е. исследование статистических свойств нулей дзета-функции.

К этому Эндрю Одлыжко и приступил. Используя в качестве платформы для вычислений свободные процессорные мощности суперкомпьютера Cray в Белловских лабораториях [172] (ограниченные, однако, пятичасовым интервалом для каждого этапа вычислений), он с высокой точностью (около 8 десятичных знаков) получил первые 100 000 нетривиальных нулей дзета-функции Римана, исходя из формулы Римана-Зигеля. Далее, чтобы составить какое-то представление о происходящем много выше по критической прямой, он получил еще 100 000 нулей, начиная с 1000 000 000 001-го. Затем он прогнал эти два множества нулей через разнообразные статистические тесты, чтобы сравнить их с собственными значениями матриц, представляющих ГУА-операторы. Результаты этой работы были опубликованы в 1987 году в знаменитой статье, озаглавленной «О распределении интервалов между нулями дзета-функции».

172

Где-то в конце 1980-х Cray-1 был дополнен компьютером Cray X-MP.