Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
Шрифт:
Менее прямой вероятностный подход касается так называемой «модели Крамера». Харальд Крамер (Cram'er), несмотря на букву «'e» в своей фамилии, был шведом, причем еще одним служащим страховой компании — актуарием в Svenska Livf"ors"oakringsbolaget [186] , но одновременно и талантливым лектором, выступавшим с популярными рассказами о математике и статистике. [187] В 1934 году он опубликовал статью, озаглавленную «О простых числах и вероятности», в которой выдвинул идею, что простые числа распределены настолько случайным образом, насколько это вообще возможно.
186
Это
187
«Прикасаясь к скучным формулам своей волшебной палочкой, он превращал их в поэзию», — вспоминал Гуннар Блом в своем очерке, включенном в собрание трудов Крамера. Крамер (1893-1985) — еще один «бессмертный». Он умер спустя несколько дней после своего 92-летия.
Одно из следствий, вытекающее из Теоремы о распределении простых чисел (ТРПЧ), которое было продемонстрировано в главе 3.ix, состоит в том, что в окрестности некоторого большого числа Nдоля простых чисел составляет ~1/ln N.Например, логарифм триллиона равен 27,6310211…, так что в окрестности триллиона примерно одно из каждых 28 чисел простое. Модель Крамера утверждает, что помимо этого ограничения на среднюю частоту их появления простые числа распределены полностью случайно.
Один из способов понять, что это означает, состоит вот в чем. [188] Представим себе длинный ряд горшков из обожженной глины, на которых написаны натуральные числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, … до бесконечности (или до какого-нибудь очень большого числа). В каждый горшок положим некоторое количество деревянных шаров. Число шаров в горшке с номером Nдолжно быть равно ln N(или ближайшему целому числу). Таким образом, первые несколько горшков содержат 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, … этих шаров. Более того, в каждом горшке должен быть по крайней мере один черный шар; все остальные шары в каждом горшке белые. Следовательно, в горшках с написанными на них числами 2, 3 и 4 имеется только черный шар; в горшках с числами от 5 до 12 лежит один черный и один белый; в горшках с 13 по 33 — один черный и два белых и т.д.
188
Я позаимствовал этот мысленный эксперимент из главы 3 книги «Простые числа и их распределение», которую написали Джеральд Тененбаум и Мишель Мендес-Франс ( American Mathematical Society publications, 2000).
Теперь возьмем планшет и большой (желательно бесконечный) лист бумаги и отправимся на прогулку вдоль ряда из горшков. Случайным образом вытащим по шару из каждого горшка. Если это черный шар, запишем номер данного горшка. В конце такой прогулки у нас получится длинный список, начинающийся как 2, 3, 4, …. Шансы, что в списке окажется число 5, распределены как 50:50, поскольку в горшке 5 имеется один белый шар и один черный. Шанс, что там будет число 1 000 000 000 000, — один из 28.
Что же можно сказать о таком списке? Это, конечно, не список простых чисел. Например, в него входит много четных чисел, но лишь одно простое число, 2, является четным. Так вот, если модель Крамера верна, то список будет статистически неотличим от списка простых чисел. Любое общее статистическое свойство, которым обладают простые числа, — скажем, сколь много их мы ожидаем найти в интервале определенной длины или степень их кластеризации (о которой Гильберт в формулировке восьмой проблемы говорил как о «конденсации») — будет присуще и полученному случайному списку.
Чтобы развить некоторую аналогию, рассмотрим десятичные разряды числа .Насколько вообще известно, их последовательность совершенно случайна. [189] Они никогда не повторяются. И цифры, и пары цифр, и тройки цифр, и четверки цифр появляются с точно такой же частотой, которую даст чистый случай. Никому никогда не удавалось обнаружить какой-нибудь
189
Хорошая статья на эту тему — «Нормально ли ?» Стена Вейгена ( Mathematical Intelligencer.Vol. 7. № 3).
В 1985 году Хельмут Майер доказал, что модель Крамера в том простом виде, как я ее обрисовал, не дает полной картины распределения простых чисел. Но некоторый модифицированный вариант модели приводит к правильным предсказаниям распределения простых чисел и при этом связан с Гипотезой Римана довольно хитрым и непрямым образом. Имеется скромная надежда, что дальнейшие исследования этого вопроса приведут к прогрессу в понимании ГР. [190]
190
У меня имеется распечатка недавней статьи Хью Монтгомери и Каннана Сундарараджана «За пределами парных корреляций», которая наносит еще один удар по модели Крамера. Статья заканчивается такими словами: «…по-видимому, здесь происходит нечто такое, что еще предстоит понять». (Эта статья доступна по адресу:
Примеч. перев.)
И наконец, я не могу не упомянуть самый непрямой подход — подход в рамках недедуктивной логики. Строго говоря, это не математическая тема. Математика требует строгих логических доказательств для обоснования своих результатов. Однако большая часть мира устроена иначе. В обычной жизни мы действуем, исходя главным образом из вероятностей. В суде, на приеме у врача, при оформлении страховых полисов мы учитываем именно баланс вероятностей, а вовсе не исходим из железной определенности. Временами, конечно, для количественного выражения подобных вопросов мы пользуемся настоящей математической теорией вероятностей — именно по этой причине страховые компании берут на работу актуариев. Но гораздо чаще мы ее не используем, да и не можем использовать — представим себе хотя бы судебное разбирательство.
Математики порой бросали заинтересованный взгляд на эту сторону жизни. Джордж Пойа даже написал по этому поводу двухтомник [191] , в котором он делает довольно неожиданное заявление, что недедуктивная логика больше ценится в математике, чем в естественных науках. Эту линию рассуждений совсем недавно продолжил австралийский математик Джеймс Фрэнклин. Его статья 1987 года «Недедуктивная логика и математика», опубликованная в British Journal for the Philosophy of Science,содержит раздел, озаглавленный «Свидетельства в пользу Гипотезы Римана и других гипотез».
191
Математика и правдоподобные рассуждения (1954). (Русский пер. под ред. С.А. Яновской. М.: Наука. 1975. — Примеч. перев.)
Фрэнклин подходит к ГР так, как если бы она представляла собой дело, рассматривающееся в суде. Он приводит свидетельства в пользу справедливости Гипотезы Римана.
• Результат Харди 1914 года о том, что на критической прямой лежит бесконечно много нулей.
• Из ГР следует ТРПЧ, о которой известно, что она верна.
• «Вероятностная интерпретация Данжуа» — другими словами, рассмотренное выше рассуждение, основанное на подбрасывании монеты.
• Еще одна теорема 1914 года, которую доказали Ландау и Харальд Бор, согласно которой большинство нулей — все, кроме бесконечно малой доли, — очень близки к критической прямой. Стоит заметить, что коль скоро число нулей бесконечно, один триллион считается бесконечно малой долей.