Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Дербишир Джон

Общее представление о том, что при этом происходит, дается на рисунке 21.7. Там представлены три функции: Li(10 ^{крит. прямая}), Li(100 ^{крит. прямая}) и Li(1000 ^{крит. прямая}). Во всех трех случаях показано, как отображается один и тот же отрезок критической прямой — отрезок от ¹/ ₂– 5 iдо ¹/ ₂+ 5 i.

Рисунок 21.7.Li( x ^{критическая прямая}) при x= 10, 100 и 1000. Отображаемая часть критической прямой представляет собой отрезок от ¹/ ₂– 5 iдо ¹/ ₂+ 5 i.

Как

видно, при увеличении xот 10 до 100 и далее до 1000 происходят следующие явления.

• Спирали растут в размере, но при этом по-прежнему сходятся к тем же двум точкам – iи i.

• Отрезок критической прямой, который мы отображаем (длина его равна 10 единицам), все сильнее и сильнее растягивается, накручиваясь все большее и большее число раз вокруг точек – iи i.

• Верхняя и нижняя спирали приближаются друг к другу, «целуются» при каком-то значении xмежду 100 и 1000, а после этого пересекаются (спирали в действительности «целуются», когда x = 399,6202933538…).

Выбранный нами отрезок критической прямой слишком короткий для того, чтобы достичь первой пары нулей при ¹/ ₂± 14,134725 i. Поскольку сама прямая растягивается, а спирали при этом, наматываясь все более и более вокруг точек – iи i, растут в размере, возникает интересный вопрос. Не случится ли так, что растяжение прямой и намотка спиралей удержат нули дзета-функции на небольшом удалении от точек – iи iнезависимо от того, сколь сильно увеличились спирали? Ответ — нет; по мере роста xнули дзета-функции отображаются в точки, расположенные сколь угодно далеко. Когда равняется первому нулю дзета-функции (это нуль при ¹/ ₂+ 14,134725 i), а аргумент xдостигает скромного триллиона, функция Li (x )добирается до вещественных частей, превышающих 2200.

В главе 14.vii упоминался недавний результат, полученный Бейсом и Хадсоном, — первое литлвудово нарушение (когда (x)впервые оказывается больше чем Li (x)) происходит до, а весьма вероятно, что и при x= 1,39822x10 ³¹⁶. Представим себе, что нам надо повторить весь процесс, с помощью которого мы вычислили (1000 000), но для указанного числа (назовем его числом Бейса-Хадсона) вместо 1000 000. Какая арифметика была бы тут задействована?

Ясно, что пришлось бы взять не 13, а большее число значений функции J. Корень 1050-й степени из числа Бейса-Хадсона равен 2,0028106…, а корень 1051-й степени равен 1,99896202…, так что надо будет взять корни первой, второй, …, 1050-й степени из этого числа и вычислить функцию Jпри всех этих аргументах. Это не так уж страшно, потому что многие числа между 1 и 1050 делятся на точные квадраты, а потому функция Мебиуса для них равна нулю. Сколь многие? На самом деле таких чисел 411, так что остается посчитать 639 значений функции J. [201]

201

Заметим, что 639:1050 = 0,6085714…. Для больших чисел Nвероятность того, что Nсвободно от квадратов, равна ~ 6/ ², т.е. 0,60792710…. Вспоминая из главы 5 найденное Эйлером решение базельской задачи, можно заметить, что эта вероятность равна 1/ (2). Это верно и в общем случае. Вероятность того, что положительное целое число N, выбранное случайным образом, не делится на п-ю степень никакого целого числа, равна ~ 1/ (n).Например, среди всех чисел, не превышающих 1000 000, в действительности 982 954 не делятся ни на какую шестую степень; при этом 1/ (6) равняется 0,98295259226458….

Изображенные на рисунке 21.7 двойные спирали пересекают положительную часть вещественной оси последовательно все далее на восток — в точках 2,3078382, 6,1655995 и 13,4960622. Если бы мы проводили вычисления для числа Бейса-Хадсона, то двойная спираль пересекла бы вещественную ось при гораздо большем значении, определяемом числом, которое начинается как 325 771 513 660 и далее содержит еще 144 цифры дозапятой. Спирали при этом невообразимо широкие, но, несмотря на это, все равно сходятся к iи – i. Это означает, что верхняя и нижняя спирали

в сильной степени накладываются друг на друга — настолько сильно, что на рисунке их невозможно было бы различить. А критическая прямая, испещренная сидящими на ней нулями (если ГР верна!), колоссально растянута. Тогда на рисунке, аналогичном рисунку 21.3 , в центре была бы значительно большая дыра — хотя все равно с центром в i, — а спираль триллионы раз наматывалась бы между двумя последовательными нулями с малыми номерами, весьма эффективно разбрасывая их координаты по комплексной плоскости, так что вещественные части колебались бы между чудовищно большими отрицательными и чудовищно большими положительными числами. И все это относится только к первым из 639 строк в таблице для вычисления (число Бейса-Хадсона). Вторичные члены и правда разошлись не на шутку.

Во всех вычислениях, проводившихся в данной главе, предполагалось (о чем мы время от времени напоминали), что ГР верна. Если она неверна, то наши изящные окружности и спирали представляют собой не более чем приближение, а где-то на большой высоте вдоль критической прямой — для значений где-то далеко-далеко в той бесконечной сумме по вторичным членам — логика нашего рассмотрения рассыпается. В теории, касающейся остаточного члена, ГР занимает центральное место.

X.

Мы достигли главной цели, поставленной перед математической частью этой книги, — показать глубокую связь между распределением простых чисел, воплощенным в функции (x), и нетривиальными нулями дзета-функции, которые дают значительный (а по теореме Литлвуда — временами и доминантный) вклад в разность между (x)и Li (x), т.е., другими словами, в остаточный член в ТРПЧ.

Все это открылось нам в блестящей работе Бернхарда Римана 1859 года. Сегодня, конечно, мы знаем намного больше, чем было известно в 1859 году. Однако великая головоломка, впервые сформулированная в той работе, по-прежнему остается нерешенной — она противостоит атакам лучших умов планеты так же твердо, как когда Риман писал о своих «недолгих бесплодных попытках» доказать ее в далекие времена, когда аналитическая теория чисел только-только родилась. Каковы же перспективы на сегодняшний день, когда усилия расколоть орешек ГР прилагаются уже пятнадцатое десятилетие?

Глава 22. Она или верна, или нет

I.

Можно находить известное удовлетворение в наличии некоторой симметрии, выражающейся в том, что после стодвадцатилетнего пребывания среди математиков Гипотеза Римана (ГР) привлекла внимание и физиков. Как отмечалось в главе 10.i, сам Риман в большой степени обладал воображением, присущим ученому-физику. «Четыре из девяти работ, которые он успел сам опубликовать, относятся к физике» (Лаугвитц). Кроме того, как мне напомнила специалист по теории чисел Ульрике Форхауер [202] , во времена Римана деление на математиков и физиков было не слишком отчетливым. А незадолго до того оно не проводилось вовсе.

202

На домашней страничке Ульрике на веб-сайте Ульмского университета вывешена фотография, на которой она стоит рядом с надгробным камнем Бернхарда Римана в итальянской Селаске.

Гаусс был первоклассным физиком в той же мере, что и первоклассным математиком, и его немало озадачила бы идея рассматривать эти две дисциплины по отдельности.

Джонатан Китинг [203] рассказывает следующую историю — на мой взгляд, имеющую легкий оттенок сверхъестественного:

Я отдыхал в горах Гарца вместе с несколькими коллегами. Двое из нас решили, что стоит проехать 30 миль, отделявших нас от Геттингена, чтобы взглянуть на черновики Римана, хранящиеся там в библиотеке. Лично мне было интересно посмотреть на заметки, относящиеся примерно ко времени написания работы 1859 года о дзета-функции.

Но мой коллега — прикладной математик, которого не занимала теория чисел, интересовался совершенно другой работой Римана, имеющей отношение к возмущениям. Представим себе большую каплю газа в пустом пространстве, удерживаемую в одно целое гравитационным притяжением между частицами этого газа. Что будет, если по ней хорошенько ударить? Вообще-то могут случиться две основные вещи: капля может разлететься на части, а может начать вибрировать с некоторой частотой. Все зависит от величины, направления и места приложения удара, а также формы и размера исходной капли и т.д.

Мы добрались до библиотеки, и я попросил, чтобы мне показали заметки по теории чисел, а мой коллега — по теории возмущений. Библиотекарь что-то проверила, а потом вернулась и сказала, что нам обоим нужна одна и та же подшивка черновиков Римана. Он работал над этими двумя задачами одновременно.

203

Джонатан Китинг —профессор прикладной математики в Бристольском университете в Англии. Он тесно сотрудничал с сэром Майклом Берри в исследовании физических аспектов ГР.