Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
Шрифт:
Общее представление о том, что при этом происходит, дается на рисунке 21.7. Там представлены три функции: Li(10 крит. прямая), Li(100 крит. прямая) и Li(1000 крит. прямая). Во всех трех случаях показано, как отображается один и тот же отрезок критической прямой — отрезок от 1/ 2– 5 iдо 1/ 2+ 5 i.
Рисунок 21.7.Li( x критическая прямая) при x= 10, 100 и 1000. Отображаемая часть критической прямой представляет собой отрезок от 1/ 2– 5 iдо 1/ 2+ 5 i.
Как
• Спирали растут в размере, но при этом по-прежнему сходятся к тем же двум точкам – iи i.
• Отрезок критической прямой, который мы отображаем (длина его равна 10 единицам), все сильнее и сильнее растягивается, накручиваясь все большее и большее число раз вокруг точек – iи i.
• Верхняя и нижняя спирали приближаются друг к другу, «целуются» при каком-то значении xмежду 100 и 1000, а после этого пересекаются (спирали в действительности «целуются», когда x = 399,6202933538…).
Выбранный нами отрезок критической прямой слишком короткий для того, чтобы достичь первой пары нулей при 1/ 2± 14,134725 i. Поскольку сама прямая растягивается, а спирали при этом, наматываясь все более и более вокруг точек – iи i, растут в размере, возникает интересный вопрос. Не случится ли так, что растяжение прямой и намотка спиралей удержат нули дзета-функции на небольшом удалении от точек – iи iнезависимо от того, сколь сильно увеличились спирали? Ответ — нет; по мере роста xнули дзета-функции отображаются в точки, расположенные сколь угодно далеко. Когда равняется первому нулю дзета-функции (это нуль при 1/ 2+ 14,134725 i), а аргумент xдостигает скромного триллиона, функция Li (x )добирается до вещественных частей, превышающих 2200.
В главе 14.vii упоминался недавний результат, полученный Бейсом и Хадсоном, — первое литлвудово нарушение (когда (x)впервые оказывается больше чем Li (x)) происходит до, а весьма вероятно, что и при x= 1,39822x10 316. Представим себе, что нам надо повторить весь процесс, с помощью которого мы вычислили (1000 000), но для указанного числа (назовем его числом Бейса-Хадсона) вместо 1000 000. Какая арифметика была бы тут задействована?
Ясно, что пришлось бы взять не 13, а большее число значений функции J. Корень 1050-й степени из числа Бейса-Хадсона равен 2,0028106…, а корень 1051-й степени равен 1,99896202…, так что надо будет взять корни первой, второй, …, 1050-й степени из этого числа и вычислить функцию Jпри всех этих аргументах. Это не так уж страшно, потому что многие числа между 1 и 1050 делятся на точные квадраты, а потому функция Мебиуса для них равна нулю. Сколь многие? На самом деле таких чисел 411, так что остается посчитать 639 значений функции J. [201]
201
Заметим, что 639:1050 = 0,6085714…. Для больших чисел Nвероятность того, что Nсвободно от квадратов, равна ~ 6/ 2, т.е. 0,60792710…. Вспоминая из главы 5 найденное Эйлером решение базельской задачи, можно заметить, что эта вероятность равна 1/ (2). Это верно и в общем случае. Вероятность того, что положительное целое число N, выбранное случайным образом, не делится на п-ю степень никакого целого числа, равна ~ 1/ (n).Например, среди всех чисел, не превышающих 1000 000, в действительности 982 954 не делятся ни на какую шестую степень; при этом 1/ (6) равняется 0,98295259226458….
Изображенные на рисунке 21.7 двойные спирали пересекают положительную часть вещественной оси последовательно все далее на восток — в точках 2,3078382, 6,1655995 и 13,4960622. Если бы мы проводили вычисления для числа Бейса-Хадсона, то двойная спираль пересекла бы вещественную ось при гораздо большем значении, определяемом числом, которое начинается как 325 771 513 660 и далее содержит еще 144 цифры дозапятой. Спирали при этом невообразимо широкие, но, несмотря на это, все равно сходятся к iи – i. Это означает, что верхняя и нижняя спирали
Во всех вычислениях, проводившихся в данной главе, предполагалось (о чем мы время от времени напоминали), что ГР верна. Если она неверна, то наши изящные окружности и спирали представляют собой не более чем приближение, а где-то на большой высоте вдоль критической прямой — для значений где-то далеко-далеко в той бесконечной сумме по вторичным членам — логика нашего рассмотрения рассыпается. В теории, касающейся остаточного члена, ГР занимает центральное место.
Мы достигли главной цели, поставленной перед математической частью этой книги, — показать глубокую связь между распределением простых чисел, воплощенным в функции (x), и нетривиальными нулями дзета-функции, которые дают значительный (а по теореме Литлвуда — временами и доминантный) вклад в разность между (x)и Li (x), т.е., другими словами, в остаточный член в ТРПЧ.
Все это открылось нам в блестящей работе Бернхарда Римана 1859 года. Сегодня, конечно, мы знаем намного больше, чем было известно в 1859 году. Однако великая головоломка, впервые сформулированная в той работе, по-прежнему остается нерешенной — она противостоит атакам лучших умов планеты так же твердо, как когда Риман писал о своих «недолгих бесплодных попытках» доказать ее в далекие времена, когда аналитическая теория чисел только-только родилась. Каковы же перспективы на сегодняшний день, когда усилия расколоть орешек ГР прилагаются уже пятнадцатое десятилетие?
Глава 22. Она или верна, или нет
Можно находить известное удовлетворение в наличии некоторой симметрии, выражающейся в том, что после стодвадцатилетнего пребывания среди математиков Гипотеза Римана (ГР) привлекла внимание и физиков. Как отмечалось в главе 10.i, сам Риман в большой степени обладал воображением, присущим ученому-физику. «Четыре из девяти работ, которые он успел сам опубликовать, относятся к физике» (Лаугвитц). Кроме того, как мне напомнила специалист по теории чисел Ульрике Форхауер [202] , во времена Римана деление на математиков и физиков было не слишком отчетливым. А незадолго до того оно не проводилось вовсе.
202
На домашней страничке Ульрике на веб-сайте Ульмского университета вывешена фотография, на которой она стоит рядом с надгробным камнем Бернхарда Римана в итальянской Селаске.
Гаусс был первоклассным физиком в той же мере, что и первоклассным математиком, и его немало озадачила бы идея рассматривать эти две дисциплины по отдельности.
Джонатан Китинг [203] рассказывает следующую историю — на мой взгляд, имеющую легкий оттенок сверхъестественного:
Я отдыхал в горах Гарца вместе с несколькими коллегами. Двое из нас решили, что стоит проехать 30 миль, отделявших нас от Геттингена, чтобы взглянуть на черновики Римана, хранящиеся там в библиотеке. Лично мне было интересно посмотреть на заметки, относящиеся примерно ко времени написания работы 1859 года о дзета-функции.
Но мой коллега — прикладной математик, которого не занимала теория чисел, интересовался совершенно другой работой Римана, имеющей отношение к возмущениям. Представим себе большую каплю газа в пустом пространстве, удерживаемую в одно целое гравитационным притяжением между частицами этого газа. Что будет, если по ней хорошенько ударить? Вообще-то могут случиться две основные вещи: капля может разлететься на части, а может начать вибрировать с некоторой частотой. Все зависит от величины, направления и места приложения удара, а также формы и размера исходной капли и т.д.
Мы добрались до библиотеки, и я попросил, чтобы мне показали заметки по теории чисел, а мой коллега — по теории возмущений. Библиотекарь что-то проверила, а потом вернулась и сказала, что нам обоим нужна одна и та же подшивка черновиков Римана. Он работал над этими двумя задачами одновременно.
203
Джонатан Китинг —профессор прикладной математики в Бристольском университете в Англии. Он тесно сотрудничал с сэром Майклом Берри в исследовании физических аспектов ГР.